Injektivität u. Surjektivität bei NxN->N Abbildung zeigen

[Toto83]

Hi,

okay, das war wohl ein schlechtes Beispiel ...

Versuche ich es mal für f(x,y) = 12x+y.

Dann würde also aus

f(a,b) = f(c,d) => 12a+b = 12c+d folgen.

Was mache ich jetzt damit? Damit habe ich nicht gezeigt, dass (a,b) = (c,d), aber weiter vereinfachen kann ich es auch nicht. Ich könnte nur einmal nach a auflösen und einmal nach b, aber damit ist doch auch keine Erkenntnis gewonnen?

a = (12c+d-b)/12
b = 12c-12a+d

Ich kann zwar sehen, dass wenn d = b gilt, sich die erste Gleichung zu a = c auflöst, und umgekehrt für a = c sich die zweite Gleichung zu b = d ergibt, aber diese Bedingung will ich ich ja gerade beweisen. Oder ist das schon der Beweis?

Und zur Surjektivität: Genau so haben wir das bisher lt. Vorlesung aber gemacht? f(x)=y nach x umstellen, also de Facto die Umkehrfunktion bilden, und dann gucken, ob ich mit dieser für jedes f(x) ein x bekomme, was genau dann der Fall ist, wenn die Funktion für den gesamten Urbildraum definiert ist (weil ich ja dann gezwungenermaßen für jedes f(x) ein passendes x im Bildraum erhalte). Ist das falsch?

Und wie ich da nun vorgehe, weiß ich trotzdem noch nicht Wie könnte ich so einen Beweis angehen? Abgesehen vom Beweis durch Wiederspruch, weil ich ungern gezielt raten möchte.

[Toto80]

Für jedes f(x) ein passendes x im Urbildraum erhalte, sollte das natürlich im vorletzten Absatz heißen.

[Christoph]

Toto83 schrieb:

Versuche ich es mal für f(x,y) = 12x+y.

Dann würde also aus

f(a,b) = f(c,d) => 12a+b = 12c+d folgen.

Was mache ich jetzt damit? Damit habe ich nicht gezeigt, dass (a,b) = (c,d), aber weiter vereinfachen kann ich es auch nicht. Ich könnte nur einmal nach a auflösen und einmal nach b, aber damit ist doch auch keine Erkenntnis gewonnen?

Du schaffst also nicht zu zeigen, dass (a,b) = (c,d). Das könnte ein Hinweis sein, dass die ganze Aussage falsch ist. Du könntest mal versuchen, ein Gegenbeispiel zu finden, also Zahlen a, b, c, d, sodass f(a,b) = f(c,d) gilt, aber nicht (a,b) = (c,d).

[Christoph]

Toto83 schrieb:

Und zur Surjektivität: Genau so haben wir das bisher lt. Vorlesung aber gemacht? f(x)=y nach x umstellen, also de Facto die Umkehrfunktion bilden, und dann gucken, ob ich mit dieser für jedes f(x) ein x bekomme, was genau dann der Fall ist, wenn die Funktion für den gesamten Urbildraum definiert ist (weil ich ja dann gezwungenermaßen für jedes f(x) ein passendes x im Bildraum erhalte). Ist das falsch?

Das klingt etwas seltsam, was ihr da macht. Normalerweise sieht ein Surjektivitätsbeweis so aus: Gegeben ist ein z aus dem Zielbereich der Funktion. Daraus konstruiert man ein x (bzw. stellt dessen Existenz sicher), sodass f(x) = z gilt.

Dieses "konstruieren" kann man natürlich machen, indem man eine Umkehrabbildung baut. Wenn f surjektiv ist, gibt es auch immer eine einseitige Umkehrabbildung. Das heißt wenn f surjektiv ist, gibt eine Funktion g, sodass f(g(z)) = z gilt für alle z. Aber das ist keine "richtige" Umkehrabbildung, weil eben nicht g(f(x)) = x für alle x gilt.

In deinem Fall gehst du von einer Zahl z aus und versuchst x, y zu finden, sodass f(x,y) = z ist. Das ist nicht so schwer, weil das ein unterbestimmtes Gleichungssystem ist.

edit: Hast du gelesen, was Ben04 geschrieben hat?

[Toto77]

Nichts leichter als das: f(6,2) = 74 = f(3,38).

Damit habe ich gezeigt das f nicht injektiv ist. Ist also in so einem Fall wirklich die einzige Möglichkeit Try'n'Error, sprich gezieltes Ausprobieren?

Wie prüfe ich nun, ob f surjektiv ist?
Es muss ja gelten: Für jedes x Element N muss es ein (a,b) Element NxN geben, so dass f(a,b) = x. Hier könnte ich jetzt auch ganz einfach als Gegenbeispiel einbringen: für 1 gibt es kein (a,b) in NxN, da für jedes x in N gilt: x > 0, also x >= 1, also das kleinste f(a,b) = f(1,1) = 12+1 = 13 ist.

=> 1 Element N, aber es gibt kein (a,b) Element NxN mit f(a,b) = 1, also f nicht surjektiv.

(N enthält in der mir gegebenen Definition die 0 nicht)

Ist das so korrekt?
Falls ja bleibt mir hier also auch nur, nach einem Gegenbeispiel zu suchen?

[Toto74]

Christoph schrieb:

Das klingt etwas seltsam, was ihr da macht. Normalerweise sieht ein Surjektivitätsbeweis so aus: Gegeben ist ein z aus dem Zielbereich der Funktion. Daraus konstruiert man ein x (bzw. stellt dessen Existenz sicher), sodass f(x) = z gilt.

Dieses "konstruieren" kann man natürlich machen, indem man eine Umkehrabbildung baut. Wenn f surjektiv ist, gibt es auch immer eine einseitige Umkehrabbildung. Das heißt wenn f surjektiv ist, gibt eine Funktion g, sodass f(g(z)) = z gilt für alle z. Aber das ist keine "richtige" Umkehrabbildung, weil eben nicht g(f(x)) = x für alle x gilt.

In deinem Fall gehst du von einer Zahl z aus und versuchst x, y zu finden, sodass f(x,y) = z ist. Das ist nicht so schwer, weil das ein unterbestimmtes Gleichungssystem ist.

edit: Hast du gelesen, was Ben04 geschrieben hat?

Hmm, naja, vlt. habe ich es auch falsch formuliert. Ich bin mit den Begriffen noch nicht so lange vertraut. Im Groben haben wir ja eigentlich nur Folgendes gemacht: Geprüft, ob es eine Umkehrabbildung gibt, und wenn es diese gibt und sie für den gesamten Wertebereich des Urbildraumes gültig ist, dann muss daraus folgen, dass f surjektiv ist. Oder? Und das müsste doch vom Injektivitätsbeweis losgelöst sein, weil es für die Surjektivität ja an sich egal ist, ob mehrere unterschiedliche x auf dasselbe f(x) abgebildet werden, da ja nur wichtig ist, ob ich zu jedem Element im Bildraum überhaupt (mindestens) ein x im Urbildraum finde.

Das von Ben04 habe ich gelesen, ja. Und es ist an sich auch logisch. War aber wohl einfach ein blödes Beispiel von mir ... Ich habe hier zig Funktionen, für die ich die Injektivität und die Surjektivität prüfen soll, und habe mir einfach eine herausgepickt und hier geschrieben. Die meisten anderen Funktionen enthalten nur + und Quadrat.

[hghghghghghgh]

Toto77 schrieb:

Nichts leichter als das: f(6,2) = 74 = f(3,38).

Damit habe ich gezeigt das f nicht injektiv ist. Ist also in so einem Fall wirklich die einzige Möglichkeit Try'n'Error, sprich gezieltes Ausprobieren?

DIE GANZE MATHEMATIK ist nichts anderes als Try and Error, sprich gezieltes Ausprobieren. (Oder trivial, aber dann ist es nicht Mathematik sondern Rechnen)

[Ben04]

Wandeln wir die Funktion mal in eine von ZxZ->Z ab. Ansonsten bist du nämlich mit meiner Begründung fertig, da ich nicht glaube, dass ihr Injektivität und Surjektivität für partiell definierte Funktionen definiert habt.

Es sei g := f eingeschränkt auf {0}xZ
Es gilt g(Z) = f(0, Z) = 12*0 - Z = -Z = Z also ist g surjektiv.

Beh: Da g schon surjektiv ist, ist es f erst recht.
Bew: Folgt unmittelbar, nachdem man die Definition hingeschrieben hat.

Beh: Da {0}xZ eine echte Teilmenge von ZxZ ist und g surjektiv ist kann f nicht injektiv sein.
Bew: Da {0}xZ eine echte Teilmenge ist, gibt es x aus ZxZ \ {0}xZ. Es sei y = f(x). Da g surjektiv ist gibt es ein z aus {0}xZ, so dass g(z) = y. Da {0}xZ und ZxZ \ {0}xZ disjunkt sind muss x ≠ z sein. f kann also nicht injektiv sein, da f(x) = f(z) => x = z nicht gelten kann.

Wie du siehst kann man natürlich auch abstrakter argumentieren. Die Frage ist aber, was davon einfacher ist. :p

EDIT: g durch f ersetzt damit es korrekt ist.

[TotoXX]

Hmm, das muss ich mir heute Abend mal in Ruhe anschauen
Aber Danke für die Mühe!

[YASC]

Ben04 schrieb:

Es sei g := f eingeschränkt auf {0}xZ

Bew: Da {0}xZ eine echte Teilmenge ist, gibt es x aus ZxZ \ {0}xZ. Es sei y = f(x). Da g surjektiv ist gibt es ein z aus {0}xZ, so dass g(z) = y. Da {0}xZ und ZxZ \ {0}xZ disjunkt sind muss x ≠ z sein. f kann also nicht injektiv sein, da g(x) = g(z) => x = z nicht gelten kann.

g(x) ist doch gar nicht definiert, da g nur auf {0}xZ definiert ist und x aus ZxZ \ {0}xZ.

//EDIT: Nevermind, ersetze g durch f, dann steht auch da, was zu zeigen war

[Michael E. logged out]

Er sagt ja auch nicht g(x), sondern f(x) = y = g(z).

[Michael E. logged out]

Ach da, am Ende des Satzes