Frage zum Gruppenhomo
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Hallo Forum,
ich habe eine Gruppe (G, ) und eine Funktion f die jedes g aus G in ein anderes Element überführt. Was kann ich nun über die neue Gruppe aussagen? (f(G), x)
Kann ich davon ausgehen das x die Gleiche Operation ist wie ""?
In meinem Fall soll ich zeigen: f ist ein Gruppenhomomorphismus genau dann wenn G abelsch ist.Wenn ich jedoch nicht auf den Elementen von f(G) rechnen kann, kann ich nicht zeigen das wenn f Gruppenhomo, das dann G abelsch ist. Ich muß ja zeigen das aus a*b=c folgt das b*a=c
Vielen Dank
Martin
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martinsalo. schrieb:
ich habe eine Gruppe (G, ) und eine Funktion f die jedes g aus G in ein anderes Element überführt. Was kann ich nun über die neue Gruppe aussagen? (f(G), x)
Kann ich davon ausgehen das x die Gleiche Operation ist wie ""?Nein, das ist nur begrenzt sinnvoll, würde ich sagen. Allerdings ist das ohne weitere Information die einzige Möglichkeit, die du hast.
Nimm z.B. mal die Gruppe der reellen Zahlen mit Addition, also (IR, +). Diese Gruppe ist abelsch.
Die Exponentialfunktion exp eine Abbildung, die IR auf IR abbildet. Das Bild der Exponentialfunktion in IR ist aber mit Sicherheit keine Gruppe mehr bzgl. der Addition.Du brauchst noch irgendeine weitere Information, damit das funktioniert.
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ganze aufgabe plzkthx
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abc
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martinsalo schrieb:
Ok, ich möchte die Aufgabenstellung jedoch gleich wieder löschen.
Gleich wieder löschen ist nicht sehr nett. Stell dir vor morgen kommt jemand mit derselben Frage, dann findet er keine Antwort.
Ich paraphrasier die Aufgabenstellung mal, ich hoffe das ist in Ordnung (weil nicht direkt googlebar): Gegen ist eine Gruppe G und eine Abbildung f: G -> G. Die Abbildung f bildet x auf sein Inverses ab, also f(x) = -x für alle x. Zu zeigen ist, dass diese Abbildung genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn die Gruppe abelsch ist.
martinsalo schrieb:
Für die Hinrichtung: Wenn a*b=c gilt, dann mit f auch -a * -b = -c. Dann erweitere ich beide Seiten von rechts mit "* b *a" und die Elemente löschen sich aus (e sei das neutrale Element):
e = -c * b * a
Dann wird von links mit c erweitert:
c*e = e * b * a
c = b * a
Nun weiß ich das a*b=c=b*a also abelsch ist.
Die Rückrichtung dann ähnlich.Geht das so?
Ja.
martinsalo schrieb:
Es wird doch nur implizit angenommen das die * Operation auch im Homomorphismus verwendet wird. Eigentlich könnte dort auch eine andere Operation verwendet werden.
Im Prinzip schon, aber in dem Fall nicht. Die Abbildung f bildet in eine Gruppe ab und soll ein Homormophismus sein, damit ist die Gruppenoperation im Bild von f festgelegt. Wenn man im Bild von f eine andere Gruppenoperation nutzen wollte, würde man vielleicht eher f: G -> H schreiben, um klarzumachen, dass es um unterschiedliche Gruppen geht.
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Der Tutor könnte im Internet suchen wer sich hat helfen lassen. "gilt Gruppenhomomorphismus genau dann abelsch" zeigt gleich auf der ersten Seite diesen Eintrag.
Dann kann ich die Operation benutzen. Vielen Dank
