Exponential Fkt. b * a^x in e-Fkt umwandeln

Hallo,

wie der Titel schon sagt:

Wie kann ich eine Exponentialfkt. mit Basis a in eine e-Fkt
umwandeln?

Vielen Dank im Voraus,

Andreas

Christoph

Mit der Definition von a^b:
a^b := exp(b * ln(a))

Danke für die schnelle Hilfe.

Kann mir evtl jemand die Herleitung zeigen?

Nur einfach als Definition wäre ja zu einfach.

Christoph

AndreasBo schrieb:

Nur einfach als Definition wäre ja zu einfach.

Das ist aber tatsächlich eine übliche Definition für a^b.

Du könntest natürlich a^b auch anders definieren, und dann zeigen, dass diese Definition äquivalent zu a^b := exp(b*ln(a)) ist. Wie möchtest du a^b denn definieren?

Um ehrlich zu sein, am liebsten wäre mir eine Herleitung
um mit Epxonential u. Log-Gesetzten zu beweisen (zeigen):

Wie Exponentialfkt. zu verschiedenen Basen ineinander umgerechnet werden.

Mir ist schon klar, dass dies immer geht, nur warum, wie in meinem Beispiel
eben genau ln(a) der Faktor im Exponenten richtig ist.

Wenn es nur ne Definition wäre, dann könnte ich ja auch was anderes definieren,
z. B. 2* ln (a) was natürlich falsch wäre. Also muss sich doch auch zeigen
lassen, dass ln(a) als Faktor richtig ist. Oder sehe ich da was verkehrt?

Viele Dank für die Geduld mir mir.

Ich denke auch, dass a^b = exp(b*ln(a)) die übliche Definition ist. Wiki schlägt noch eine andere Definition vor:
a^b = lim a^r mit r -> b; für r werden nur rationale Zahlen zugelassen.

a^r = a^(m/n) kann leicht definiert werden als a^m / a^n. Wenn jemand langeweile hat, kann er ja die äuquivalenz der beiden Definitionen zeigen :xmas1:

Hab ganz den wiki-Link vergessen:

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Real_powers

Ich denke, die Definition über den Grenzwert ist leichter "zu glauben", da das potenzieren mit natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen und dann eben auch rationalen Zahlen sehr schnell einzusehen und "zu glauben" ist.

Mups schrieb:

a^r = a^(m/n) kann leicht definiert werden als a^m / a^n.

Ai... da hab ich mich ja vertippt. Es ist natürlich a^(m/n) = (a^m)(1/n) und c^(1/n) natürlich die n-te Wurzel aus c.

Borschtsch

Mups schrieb:

Ich denke, die Definition über den Grenzwert ist leichter "zu glauben", da das potenzieren mit natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen und dann eben auch rationalen Zahlen sehr schnell einzusehen und "zu glauben" ist.

Das ist auch deine gewünschte Herleitung, man bezieht sich bei der Erweiterung auf die Definitionen der Zahlenmengen. Wenn für dich der Faktor ln(a) ein Verständnisproblem darstellt, musst du dir den natürlichen Logarithmus, eulersche Zahl genauer anschauen.

Gruß

OhneName

Du willst also wissen warum a^x = exp(x * ln a) ist?

Dann mach dir erstmal den Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion exp(x) und dem natürlichen Logarithmus ln(y) klar.

Der natürliche Logarithmus ist nämlich die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. D.h. wenn du bei dieser Gleichung
exp(x) = y
an das x kommmen willst, musst du die e-Funktion umkehren, also
x = ln(y)

Daraus ergibt sich jetzt aber, wenn du die Gleichungen ineinander einsetzt
exp(ln(y)) = y
und
ln(exp(x)) = x

Jetzt zu deinem Problem:
exp(x * ln a)
Den Exponenten kann man mit dem Logarithmusgesetz b*ln(a) = ln(a^b) umformen:
exp(ln(a^x))
Nach obiger Gleichung exp(ln(y)) = y ist das nun aber nichts anderes als
a^x

Christoph

OhneName schrieb:

Den Exponenten kann man mit dem Logarithmusgesetz b*ln(a) = ln(a^b) umformen:

Welche Definition von a^b verwendest du in diesem Logarithmusgesetz?

@OhneName:

Ja, genau diese Erklärung bzw. Herleitung aus der

Logarithmusregel x * ln(a) = ln (a^x) meinte ich.

e^(x*ln(a)) = a^x

Ist natürlich klar, dass man jetzt nach der Def. dieser Regel fragen
kann. Mir reicht es aber so, ist ja fast zu einfach um richtig zu sein

Vielen Dank an euch Beide.

SeppJ

AndreasBo schrieb:

@OhneName:

Ja, genau diese Erklärung bzw. Herleitung aus der

Logarithmusregel x * ln(a) = ln (a^x) meinte ich.

e^(x*ln(a)) = a^x

Ist natürlich klar, dass man jetzt nach der Def. dieser Regel fragen
kann. Mir reicht es aber so, ist ja fast zu einfach um richtig zu sein

Vielen Dank an euch Beide.

Das ist keine Herleitung, das ist einfach nur eine andere Schreibweise!

OhneName

Hallo Christoph und SeppJ,

mir ist auch klar, dass das keine mathematische Definition oder Herleitung ist. Das ist aber der Weg wie es uns damals in der Schule erklärt wurde und ich hatte einfach nur das Gefühl, dass das der Weg ist, den AndreasBo suchte und scheinbar lag ich ja nicht ganz falsch.

volkard

Ich versuch's mal anders.

ba^x
== wegen e^(ln(x))==x
ae^(ln(ax))
== mist, logarithmengesetze will ich jetzt mal nicht verwenden.

b*a^x = e^y
== mist, ist erstmal zu kompliziert.

a^x

(e^ln(a))x
== {wegen (e^ln(a))==a, weil Umkehrfunktionen} und { (a^b)c==a^(b*c), weil Potenzgesetz im 10. Schuljahr und es vor dem Weihnachtsferien-NotenkonferenzZuFrüh-Klausurenstreß war}
e^(ln(a)*x)

also
a^x==e(ln(a)*x) <== neues Gesetz

b*a^x
== weil k==k^1
b^1 * a^x
== weil neues Gesetz
e^(ln(b)*1) * e^(ln(a)x)
== weil f^t*fw=f^(t+w)
e^(ln(b)*1+ln(a)*x)
== weil r1==1
e^(ln(b)+ln(a)*x)
== weil e+u==u+e
e^(ln(a)*x+ln(b))

Borschtsch schrieb:

Mups schrieb:

Ich denke, die Definition über den Grenzwert ist leichter "zu glauben", da das potenzieren mit natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen und dann eben auch rationalen Zahlen sehr schnell einzusehen und "zu glauben" ist.

Das ist auch deine gewünschte Herleitung, man bezieht sich bei der Erweiterung auf die Definitionen der Zahlenmengen. Wenn für dich der Faktor ln(a) ein Verständnisproblem darstellt, musst du dir den natürlichen Logarithmus, eulersche Zahl genauer anschauen.

Gruß

Ich glaube, du hast den Fragesteller mit mir verwechselt... wollte nur einen Vorschlag machen, wie man sauber eine einfach "zu glaubene" Definition für a^b machen kann... aber vielleicht ist eine unsaubere Erklärung noch hübscher.

Borschtsch

Ups, stimmt. Sorry. :xmas2: