Eine Folge besitzt höchstens einen Grenzwert
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Hallo,
ich befasse mich gerade mit Folgen dazu lese ich ein Buch. In dem Buch wird ein Beweis dafür geliefert das eine Folge höchstens einen Grenzwert beitzt. Leider verstehe ich den Beweis nicht ganz.
Beweis:
$a$ und $b$ seien beides Grenzwerte ein und derselben Folge $(x_n)$,so gibt es nach der Definition zu $\epsilon > 0$ eine natürliche Zahl $N$ mit $\left|x\_n-a\right| < \epsilon$ und $\left|x\_n-b\right| < \epsilon$ für alle $ n \ge N$. Es folgt mit der Dreiecksungleichung: $\left|a-b\right| = \left|a-x\_n+x\_n-b\right| \le \left|a-x\_n\right|+\left|x\_n-b\right| < 2\epsilon$ für $n \ge N$. Da dies für jede beliebige Zahl $\epsilon>0$ gilt muss die Identität $a=b$ für die Grenzwerte gelten.Den letzten Satz verstehe ich nicht und irgendwie tu ich mich schwer mit der Dreieckungleichung. Wieso kann man aus der Dreiecksungleichung ableiten das a=b gelten muss?
mfg
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Aus der Dreiecksungleichung folgt, dass |a - x_n + x_n - b| = | (a - x_n) + (x_n - b) | <= |a - x_n| + |x_n - b|.
Nun ist also |a-b| <= 2*epsilon. D.h., |a-b| kann beliebig klein gemacht werden. Und das ist gleich bedeutend damit, dass a = b gelten muss.
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die dreiecksungleichung im reellen kannst du ganz einfach beweisen, indem du für alle möglichen vorzeichen der beiden Werte unterscheidest und dir ansiehst was mit den beträgen passiert.
das argument mit dem beliebig kleinen epsilon ist eines der grundlegendsten und am häufig verwendetsten in der analysis. stell dir das so vor:
anngenommen a und b sind verschieden, also gilt |a-b|=c>0. im körper der reellen Zahlen existiert nun sicherlich ein epsilon, das größer als 0 und kleiner als c ist. so ein epsilon widerspricht daher der ungleichung |a-b|<epsilon. daher ist die annnahme a!=b falsch und es kann nur a=b gelten.
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Hallo,
danke für die gute Erklärung, allmählich verstehe ich es
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Da steht |a-b| < 2ε. Die 2 vor dem ε kannst du ignorieren, da du dein ε immer so wählen kannst, dass konstante Vorfaktoren keine Rolle spielen. Dann steht da |a-b| < ε, was so viel heißt wie |a-b| -> 0 und daraus folgt, dass a-b -> 0. Da a und b Konstanten sind, muss a=b gelten.