Ableitungen

Genau dass ist der Schritt den ich nicht verstehe:
(Wo kommt da plötzlich das MAL in der Klammer her?)

sin^2 + cos^2 = 1 für die "1" in der Klammer einsetzt,

dann fällt der sin^2 weg und es müsste

0,5 * (2 * cos^2) = cos^2 übrigbleiben.

Ergebnis cos^2 * x steht auch im Lösungsbuch.

Und bei der anderen Aufgabe verstehe ich nicht was du mit "nicht PLUS" meinst? Die Produktregel lautet doch: u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x) oder?

MfG
Stromberg

Das MAL kommt von:

cos^2 + cos^2 = 2 * cos^2

Und im ersten Fall musst du doch die Kettenregel anwenden und
du nennst die Produktregel.

SeppJ

Mal ausführlich:

Du hast AndreasBo dadurch verwirrt, dass du die Produktregel auf einen Ausdruck der Form Konstante*f(x) anzuwenden. Normalerweise spart man sich das, da die Ableitung einer konstante immer Null ist, wodurch das Ergebnis immer 0*f(x) + Konstante*f'(x) = Konstante*f'(x) ist. Das ist es auch, was du im ersten Fall falsch gemacht hast, da du es nicht geschafft hast, auf die Null zu kommen.

Hier die Lösung, ich benutze die d/dx Schreibweise, weil ich das besser finde:

\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}\left(-0.5 e^{-2x}\right) &= e^{-2x}\frac{\partial (-0.5)}{\partial x} - 0.5 \frac{\partial e^{-2x}}{\partial x}\\ &= 0 - 0.5 \left(\frac{\partial (-2x)}{\partial x}\right) \left(\frac{\partial e^y}{\partial y}\right)_{|_{y = -2x}}\\ &= \- 0.5 \cdot (-2) \cdot e^{y}_{|_{y = -2x}}\\ &= e^{-2x} \end{align*}

Und zum Zweiten:

\begin{align*} 0.5\frac{\partial}{\partial x}\left(x + \sin(x) \cos(x) \right) &= 0.5 \left(\frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial \sin(x)\cos(x)}{\partial x}\right)\\ &= 0.5 \left(1 + \cos(x) \frac{\partial \sin(x)}{\partial x}+ \sin(x) \frac{\partial \cos(x)}{\partial x}\right)\\ &= 0.5 \left(1 + \cos(x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x) \right)\\ &= 0.5 \left(1 + \cos^2(x) - \sin^2(x) \right)\\ &= 0.5 \left(1 + \cos^2(x) + \cos^2(x) - \cos^2(x) - \sin^2(x) \right)\\ &= 0.5 \left(1 + \cos^2(x) + \cos^2(x) - 1\right)\\ &= 0.5 \left(\cos^2(x) + \cos^2(x)\right)\\ &= 0.5 \left(2\cos^2(x)\right)\\ &= \cos^2(x)\\ \end{align*}

edit: Ups, Minuszeichen verschlampt. Danke Bitsy für den Hinweis, ist korrigiert.

Bitsy

SeppJ, beim ersten ist es -0.5, das Resultat wird positiv.

@SeppJ

In der fünftletzten Zeile der zweiten Lösung
ist dir auch noch ein kleiner Fehler unterlaufen.

SeppJ

AndreasBo schrieb:

@SeppJ

In der fünftletzten Zeile der zweiten Lösung
ist dir auch noch ein kleiner Fehler unterlaufen.

Den sehe ich irgendwie nicht. Ich habe doch bloß eine 0 eingefügt. Kannst du konkreter werden?

Also ist deiner Meinung nach (e^x)' = 0 ? weil es eine konstante ist?
Ich hab gelernt dass sich die Exponentialfunktion e^x selbst reporduziert, und somit (e^x)' = e^x ist ?!!
Bin nun total verwirrt.
Trotzdem schon ma vielen Dank für den Rechenweg.

MfG
Stromberg

Stromberg

Äh und noch was:

Wie kommt man von:

\begin{align*} &= 0.5 \left(1 + \cos^2(x) - \sin^2(x) \right)\\ \end{align*}

auf dass hier?

\begin{align*} &= 0.5 \left(1 + \cos^2(x) + \cos^2(x) - \cos^2(x) - \sin^2(x) \right)\\ &= 0.5 \left(1 + \cos^2(x) + \cos^2(x) - 1\right)\\ \end{align*}

Bzw. woher kommt plötzlich dass cos^2(x) - cos^2(x) her? Und wie wird dann -cos^2(x) - sin^2(x) zu -1? Oder ist das eine feste Regel? Vll. scheiterts bei mir ja einfach an den Sinus Cosinus Rechenregeln, gibts da was bestimmtes zu wissen?

MfG
Stromberg

Bashar

Stromberg schrieb:

Bzw. woher kommt plötzlich dass cos^2(x) - cos^2(x) her?

Das ist einfach eine "produktive Null". Man addiert etwas und zieht es sofort wieder ab, das ändert ja insgesamt nichts.

Und wie wird dann -cos^2(x) - sin^2(x) zu -1? Oder ist das eine feste Regel?

Ja, das ist eine feste Regel ("Trigonometrischer Pythagoras"). Das ist eine der wichtigsten Regeln beim Umgang mit trigonometrischen Funktionen überhaupt.

Vll. scheiterts bei mir ja einfach an den Sinus Cosinus Rechenregeln, gibts da was bestimmtes zu wissen?

Ein paar Additionstheoreme sollte man eventuell auch auf der Pfanne haben, aber cos^2 x + sin^2 x = 1 ist die wichtigste. Daraus folgen eine Menge anderer interessanter Regeln, z.b. $$\sqrt{1-\sin^2 x}= \cos x$$.

SeppJ

Stromberg_ schrieb:

Also ist deiner Meinung nach (e^x)' = 0 ? weil es eine konstante ist?

Nein, guck nochmal genau hin. Die Ableitung von 0,5 ist 0. Du hast bei deiner allerersten Rechnung die Ableitung von 0,5 aber als 0,5 angegeben, deswegen bist du auf ein falsches Ergebnis gekommen.

Sind Stromberg und Stromberg_ eigentlich die gleiche Person?

@SeppJ:

Entschuldigung, ich nehme alles zurück, du hast
natürlich alles richtig umgeformt.

War wohl heute Mittag noch nicht richtig wach.

Jester

Bashar schrieb:

Ein paar Additionstheoreme sollte man eventuell auch auf der Pfanne haben, aber cos^2 x + sin^2 x = 1 ist die wichtigste. Daraus folgen eine Menge anderer interessanter Regeln, z.b. $$\sqrt{1-\sin^2 x}= \cos x$$.

\sqrt{1-\sin^2 x}= |\cos x|$$ bitte.

Stromberg

Ah okay, jetzt hab ich alles verstanden. Danke nochmal für eure Hilfe, das Forum hier zahlt sich immer wieder aus, nicht nur was Programmiersprachen anbelangt.
Ja und Stromberg_ und Ich wir sind ein und die selbe Person, nur manchmal haut das Anmelden mit meinem Browser nicht gleich hin und da gehts schneller wenn ich mich über nen Gastaccount einlogge (eigentlich nur aus Faulheit :)).
MfG
Stromberg