"sehr viel kleiner als..."
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Hi,
wenn ich laut Aufgabe zeigen soll, dass eine Größe sehr viel kleiner ist als
eine andere, bzw. zeigen soll, wann dies gilt, was würdet ihr da für das Verhältnis der Werte größenordnungsmäßig annehmen?
Also: Gibt es irgendeine Konvention, was ich unter
a << b
verstehen soll?Also sowas wie
a << b
<=>
a < e-3 b
oder ähnlich?Vielen Dank im Voraus und
Liebe Grüße
Sinthoras
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Das ist kontextabhängig und man sollte schon erahnen können in welchen Größenordnungen sich das abspielt. Wenn ich z.B. in irgendeinem Beweis sage, dass x >> 1 ist, dann kann ich davon ausgehen, dass bei 1/(x-1) keine riesig große Zahl rauskommt und ich den Kram etwa mit 1 abschätzen kann. Wie groß genau x sein muss, damit der jeweilige Beweis durchgeht sieht der geschulte Leser automatisch.
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Ich kenne diese Schreibweise x >> 1 eigentlich nur aus der Physik. In mathematischen Beweisen ist es normalerweise nur wichtig, ob x > 1 ist und nicht, ob x "viel größer" als 1 ist.
Wenn es in einem mathematischen Beweis wirklich mal wichtig ist, dass x "viel größer" als 1 ist, dann würde man das zum Beispiel so schreiben: x > 100.
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Ja, in meinem Beispiel wäre es einfacher zu schreiben x > 2, das ist schon klar. Mir ist grad nix besseres eingefallen
. In der Numerik z.B. begegnet mir sowas ziemlich oft. Da sagt man dann hinreichend groß und verwendet generische Konstanten, statt "größer als 3(a-b)/c" um sich die Fummelei mit den Konstanten zu sparen. Die eigentlichen Konstanten sind eher unwichtig, wichtig ist eher, ob sie z.B. von einer Schrittweite oder einer Geometrie abhängen. Gut, nun zählen manche Mathematiker die Numerik nicht wirklich zur Mathematik 
.
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Ne, es geht schon um Physik.
Ich wollte nur wissen, ob es da vielleicht irgendeine Konvention gibt.
Aus dem Kontext ist es leider in dem Fall nicht so richtig klar
Danke soweit schonmal.
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Es gibt keine Konvention dafür.
Oftmals geht es aber natürlich schon um die Größenordnung "Faktor 1000 oder mehr". Allerdings kann man daraus keine Regel ableiten, denn eine Abschätzung bleibt auch bei kleineren Faktoren richtig, nur wird ihr Fehler größer.
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"x viel kleiner als y" heißt im Prinzip "x ist so klein, dass das Ergebnis in der Näherung x/y = 0 einen kleineren Fehler hat, als es für mich eine Rolle spielt".
Eben erwähnten (relativen) Fehler kann man als epsilon bezeichnen, und wenn alles stetig ist (was normalerweise zutrifft), gibt es ein delta>0 sodass obige Aussage für alle |x/y|<delta quantitativ wahr wird. Wenn man etwas korrekter sein wollte, hätte man von Anfang an "x hinreichend viel kleiner als y" gesagt. Aber da normalerweise alle Beteiligten wissen, worum es geht, kann man durchaus in Jargon verfallen.
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"A für x << y" heisst: "Es existiert ein n < y, so dass A für x <= n".
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Gut, danke für alle Tipps!
Ich denke, ich ziehe dass "<<" einfach durch meine Rechnungen mit durch, weil wohl keine richtige Konvention existiert.
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Hm... das klingt nicht so sinnvoll. Normalerweise macht man solche Annahmen, damit man irgendwo was vereinfachen kann (d.h. weglassen) kann. Z.b. ist x/(x+y) ungefähr gleich 1, wenn |y| << |x|. Dann musst du den Term nicht mehr die ganze Zeit mitschleppen und bekommst eine viel einfachere Rechnung.
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Bin gerade über ein Beispiel gestolpert.
http://www.gnunet.org/papers/GNUnet_pet.pdf Seite 12
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Mups schrieb:
Hm... das klingt nicht so sinnvoll. Normalerweise macht man solche Annahmen, damit man irgendwo was vereinfachen kann (d.h. weglassen) kann. Z.b. ist x/(x+y) ungefähr gleich 1, wenn |y| << |x|. Dann musst du den Term nicht mehr die ganze Zeit mitschleppen und bekommst eine viel einfachere Rechnung.
Ne, das war nicht Ziel zumindest dieses Aufgabenteils. Man sollte eher nachträglich Voraussetzungen finden, so dass a << b und dann diese und jene Vereinfachung ok ist. Deshalb hatte ich mich auch für eine mögliche Konvention interessiert. Aber danke
Ich bin also dann dazu gekommen zu sagen: Wenn c << d, dann gilt a << b und die Vereinfachung war ok. ( mit c << d <=> a << b , das meinte ich mit dem "mitschleppen").