Stetigkeit im Nullpunkt?

[joe_]

Hallo,

ich hoffe es kann mir jemand bei folgenden Beispiel weiterhelfen:

Untersuchen Sie bei folgender Funktion die Stetigkeit im Nullpunkt. Es sei stets f(0,0)=0 und für $$(x,y)\neq (0,0)$$

$f(x,y)=\frac{3x^2 +2y^2}{x^2+y^2}$

Ich hoffe mir kann jemand bei diesen Beispiel weiterhelfen ich weiß absolut nicht wie ich das angehen soll!

Danke in vorraus!

mfg joe_

[.filmor]

Naja, was kennst du denn an Stetigkeiten?

Es gibt quasi drei Kriterien, die man draufwerfen kann (wenn das übliche "ist aus stetigen Funktionen gebastelt" mal nicht funktioniert, so wie hier).

Hast du denn ne Vermutung? Was müsste denn gelten, wenn diese Funktion tatsächlich stetig in 0 wäre?

[joe_]

Der Grenzwert der Funktion muss die Nullstelle sein?

[joe_]

Dann wäre sie Stetig oder?

[.filmor]

Das wäre Folgenstetigkeit, ja. Nun wähl mal ein paar Folgen $$(x_n, y_n)$$, die gegen $$(0,0)$$ konvergieren und betrachte $$f(x_n, y_n)$$.

[XFame]

Du kannst auch erstmal diesen Quotienten abschaetzen.

Tipp: $$\frac{3x^2+2y2}{x^2+y2} \geq \frac{2x^2+2y2}{x^2+y2} = ...$$

/edit: Latex zurecht gerueckt.

[PlotAuchWennsUniMatheIst!]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(3*x^2+%2B+2*y2)+%2F+(x^2+%2B+y+2+)

sieht das für dich stetig aus? na, dachte ich mir.

[Bashar]

*schnupp*

[joe_]

Also ich habs jetzt so gemacht:

$f(\frac{1}{n},0) = \frac{3*\frac{1}{n^2}+2*0^2}{\frac{1}{n^2}+0^2}=3$

f(0,\frac{1}{n}) = \frac{3\*0^2+2\*\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+0^2}=2

darraus folgt

\lim_{n \to \infty}f(xn,yn)=3\neq 2$ daher ist f nicht stetig in(0,0)$ Stimmt das so?

[XFame]

Ja.