Unterschied zwischen normaler und partieller Ableitung
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Moin zusammen,
ich hab grade irgendwie Probleme, den Unterschied zwischen der normalen und der partiellen Ableitung zu verstehen.
So weit ich weiß, sind die beiden erst bei Funktionen die von mehr als einer Variablen abhängen unterschiedlich.
Zum Beispiel:
\[f(x,y) = x^2 + y^2\]
Die partiellen Ableitungen müssten dann ja
\[\frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y \]
sein.Was ist dann die normale Ableitung von ƒ nach x?
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Mit "normaler" Ableitung meinst du die totale Ableitung? Die kannst du bspw. als Jacobi-Matrix darstellen. Wäre in dem Fall eine Matrix aus deinen beiden partiellen Ableitungen.
MfG SideWinder
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SideWinder schrieb:
Mit "normaler" Ableitung meinst du die totale Ableitung?
Das kann gut sein. Geschrieben meine ich: \[\frac{df}{dx}\]
Oder wäre das praktisch nur die partielle Ableitung, und die totale Ableitung ist bezüglich x und y gleichzeitig?SideWinder schrieb:
Die kannst du bspw. als Jacobi-Matrix darstellen. Wäre in dem Fall eine Matrix aus deinen beiden partiellen Ableitungen.
MfG SideWinder
Jacobi-Matrix hatten wir bis jetzt noch nicht, aber ich bin mir sicher das wird auch noch kommen
Auf jeden Fall schon mal danke für die Hilfe!
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Das nennt man den Gradienten in deinem Fall.
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DerKuchen schrieb:
Was ist dann die normale Ableitung von ƒ nach x?
Die partielle Ableitung ist auch "normal" (ergibt bildlich eine Steigung). Eine Funktion von zwei Variablen hat natürlich jeweils eine Steigung entlang den beiden Variablen-Achsen, in dem Fall eine für x und eine für y. Dass man dafür eine andere Notation verwendet, ist einfach nur eine Konvention. Da steckt keine Magie dahinter.
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Wobei die totale Ableitung für Funktonen in mehreren Variablen die selben Eigenschaften erfüllt wie es die 1-dimensionale Ableitung für eine Variable macht. Sie also in diesem Sinne imho "natürlicher" ist.
MfG SideWinder
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Die normale Ableitung ist nach (x,y)^T. Das kann man analog zum Grenzwert des Differenzenquotienten aufziehen:$$\displaystyle f'(a) := \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{||x-a||}$$ mit $$a := (a_1, a_2)T\in\mathbb{R}2$$.
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Mein Prof hat mir das mal so erklärt:
Bei Funktionen, die von mehr als einer Variablen abhängen, spricht man IMMER von partiellen Ableitungen, wenn man eine Ableitung durchführt. Damit will man ausdrücken, das es eben nicht nur eine Ableitung gibt.
Plottest du deine Funktion, so hast du eine 3D-Funktion, also eine Fläche. Die partiellen Ableitungen beschreiben einmal die Steigung in x-Richtung und einmal in y-Richtung in einem bestimmten Punkt.
Bei Funktionen, die nur von einer Variablen abhängen (z.B. f(x) = 3x) spricht man nicht mehr von einer partiellen Ableitung, da es eh nur eine Ableitung gibt. Das "partiell" macht also sprachlich keinen Sinn.
Hope that helps
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Bashar schrieb:
Die normale Ableitung ist nach (x,y)^T. Das kann man analog zum Grenzwert des Differenzenquotienten aufziehen:$$\displaystyle f'(a) := \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{||x-a||}$$ mit $$a := (a_1, a_2)T\in\mathbb{R}2$$.
Dafür würde man in der Schreibweise mit dem 'd' (nach Leibniz, oder?) dann nur \[df\] schreiben, ohne ein dx oder dy dadrunter?
Dann wär \[\frac{\partial f}{\partial x}\] also praktisch nur eine andere Schreibweise um zu verdeutlichen, dass nur nach x und nicht nach allen Variablen abgeleitet wird.
Bildlich gesehen ist die totale Ableitung also die Änderung wenn an beiden (allen) Variablen "gewackelt" wird, und die partielle Ableitung nur das Änderung für eine Variable.
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$ \frac{df(x\_1,...,x\_n)}{dt} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f(x\_1,...,x\_n)}{\partial x\_i} \frac{dx\_i}{dt}$