4. Rekursionsformel für Integralberechnung

Rekursionsformel für Integralberechnung

  • S

    Hallo!
    Mein Programm soll die Integrale

    \[{I\_n} = \int\_0^1 {\frac{{{x^n}}} {{x + 20}}dx} ,\quad n \geqslant 0\]

    berechnen. Dazu habe ich den Startwert ausgerechnet und möchte die Rekursionsformel

    \[{I_n} = \frac{1} {n} - 20{I_{n - 1}},\quad n > 0\]

    benutzen. Aber erst mal muss ich zeigen, dass die Formel überhaupt richtig ist.
    Bei einem anderen Beispiel habe ich das mit partieller Integration gemacht:

    \[\begin{gathered} {I_n} = \frac{1} {e}\int_0^1 {{x^n}{e^x}dx} ,\quad n \geqslant 0 \hfill \\ {I\_n} = 1 - n{I\_{n - 1}} \hfill \\ {I_n} = \frac{1} {e}\int_0^1 {{x^n}{e^x}dx} = \frac{1} {e}\left( {\left[ {{x^n}{e^x}} \right]\_0^1 - \int\_0^1 {n{x^{n - 1}}{e^x}dx} } \right) = \frac{1} {e}\left( {e - n\int\_0^1 {{x^{n - 1}}{e^x}dx} } \right) = 1 - n{I\_{n - 1}} \hfill \\ \end{gathered} \]

    Das funktioniert aber dieses Mal nicht so einfach. Ich habe partiell integriert (mit Zähler und Nenner als die beiden Funktionen) und bin nicht auf das richtige Ergebnis gekommen.

    Wie könnte man das machen?

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  • ?

    Puh, ich bin nicht mehr so ganz fit darin, aber vllt. kann das hier helfen:

    http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung

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  • B

    Ja, die Idee mit der Partialbruchzerlegung hilft, auch wenn man sie letztlich nicht durchführen muss.

    Tipp: Zerlege den Integranden in eine Summe aus einem Polynom und einer echt-gebrochen-rationalen Funktion (d.h. Zählergrad < Nennergrad).

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  • S

    Danke für die Antworten.

    Zählt es auch als Beweis, wenn man

    \[{I\_n} = \int\_0^1 {\frac{{{x^n}}} {{x + 20}}dx} = \frac{1} {n} - 20\int_0^1 {\frac{{{x^{n - 1}}}} {{x + 20}}dx} \]

    nach 1/n = 1/n auflöst? Das hab ich letzte Woche in meiner Verzweifelung irgendwann getan und das Problem damit als erledigt erklärt^^

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  • ?

    Nein, das zählt nicht, falls du in deinen Umformungen irgendwo eine Implikation => benutzt. Falls alle deine Umformungen Äquivalenzen sind <=> sind, zählt es.

    Mit Implikationen könntest du sonst Unsinn machen:

    Beh.: 2 = -2
    Bew.: Durch Quadrieren erhält man 4 = 4, was richtig ist.

    Qaudrieren ist eine Implikation =>, hier also: 2 = -2 => 4 = 4

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  • ?

    Was ihr mit der PBZ wollt, verstehe ich übrigens nicht. Ich würde einfach schreiben x^n = (x+20)*x^(n-1) - 20*x^(n-1)

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  • S

    Hmm ich bin nicht ganz sicher, wie das mit der Äquivalenz bei Integralen ist...

    Ich hab es so gemacht:

    \[\begin{gathered} \int_0^1 {\frac{{{x^n}}} {{x + 20}}dx} = \frac{1} {n} - 20\int_0^1 {\frac{{{x^{n - 1}}}} {{x + 20}}dx} \hfill \\ \int_0^1 {\frac{{{x^n}}} {{x + 20}}dx} + 20\int_0^1 {\frac{{{x^{n - 1}}}} {{x + 20}}dx} = \frac{1} {n} \hfill \\ \int_0^1 {\frac{{{x^n} + 20{x^{n - 1}}}} {{x + 20}}dx} = \frac{1} {n} \hfill \\ \int_0^1 {{x^{n - 1}}dx} = \frac{1} {n} \hfill \\ \left[ {\frac{1} {n}{x^n}} \right]_0^1 = \frac{1} {n} \hfill \\ \frac{1} {n} = \frac{1} {n} \hfill \\ \end{gathered} \]

    Ist das in Ordnung?

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  • K

    Wahrscheinlich nur fuer n > 0. 🙂

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  • B

    Ich hätts so gemacht: Für n > 0 gilt

    xnx+20=xn+20xn−1−20xn−1x+20=xn−1−20xn−1x+20\frac{x^n}{x+20} = \frac{x^n + 20x^{n-1} - 20x^{n-1}}{x+20} = x^{n-1} - 20 \frac{x^{n-1}}{x+20}

    Beide Seiten integriert ergibt nach Definition von I_n:

    I_n=∫_01xn−1dx−20In−1=1n−20In−1I\_n = \int\_0^1 x^{n-1} dx - 20 I_{n-1} = \frac{1}{n} - 20 I_{n-1}

    Das rückwärts aufzuziehen ist zwar streng logisch korrekt (wenn man, wie hier, nur Äquivalenzen hat), aber hässlich, weil die eigentliche Beweisrichtung nur als Nebenprodukt der Äquivalenzkette enthalten ist.

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  • ?

    snOOfy schrieb:

    Hmm ich bin nicht ganz sicher, wie das mit der Äquivalenz bei Integralen ist...

    Ich hab es so gemacht:

    \[\begin{gathered} \int_0^1 {\frac{{{x^n}}} {{x + 20}}dx} = \frac{1} {n} - 20\int_0^1 {\frac{{{x^{n - 1}}}} {{x + 20}}dx} \hfill \\ \int_0^1 {\frac{{{x^n}}} {{x + 20}}dx} + 20\int_0^1 {\frac{{{x^{n - 1}}}} {{x + 20}}dx} = \frac{1} {n} \hfill \\ \int_0^1 {\frac{{{x^n} + 20{x^{n - 1}}}} {{x + 20}}dx} = \frac{1} {n} \hfill \\ \int_0^1 {{x^{n - 1}}dx} = \frac{1} {n} \hfill \\ \left[ {\frac{1} {n}{x^n}} \right]_0^1 = \frac{1} {n} \hfill \\ \frac{1} {n} = \frac{1} {n} \hfill \\ \end{gathered} \]

    Ist das in Ordnung?

    Hier ist alles ok. Aber mal als Tipp: Einen schönen Beweis bekommt man aus so einer Rechnung, indem man von unten nach oben liest. Hier zb:

    \[ \frac{1}{n} = \int\_0^1 {{x^{n - 1}}dx} = \int\_0^1 {\frac{{{x^n} + 20{x^{n - 1}}}} {{x + 20}}dx} = \int_0^1 {\frac{{{x^n}}} {{x + 20}}dx} + 20\int_0^1 {\frac{{{x^{n - 1}}}} {{x + 20}}dx} = I\_n + 20 I\_{n-1} \]
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