DGL-System 1.O mit const Koeffizienten

Siassei

Hallo,

ich bereite mich gerade auf eine Mathematikprüfung vor und stieß auf ein kleines Problem. Vielleicht kann mir hier jemand weiter helfen. Mein Prof ist nicht erreichbar

y₁' = y₁ + 3y₂ + e^x
y₂' = y₁ - y₂ -x

Im allgemeinen recht simple. Der Lösungsansatz für die partikuläre Lösung soll über eine Tabelle für spezielle Störglieder erfolgen, die für DGL 1.O gilt. Jetzt stellt sich mir hier ein kleines Problem ein. Dort steht für die e-Funktion

y_p = C * e^(bx) für b != -a
y_p = C*x * e^(bx)für b = -a

b und a entnimmt man:
y' + ay = g(x)
g(x)= A * e^(bx)

So, gilt das jetzt auch für das System? Das Skript und alle Unterlagen schweigen hier. Ich würde jetzt für
y~p, 1~ = C1 * x * e^(bx) wählen, da b = -a von y₁
y~p, 2~ = C2 * e^(bx) wählen, da b != -a von y₂

Würde das stimmen? Oder gilt das für die Systeme nicht, da ich hier y₁ und y₂ habe.? Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Gruß,
Thomas

Siassei schrieb:

Würde das stimmen? Oder gilt das für die Systeme nicht, da ich hier y₁ und y₂ habe.? Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Gruß,
Thomas

Ohne eine DGL-Vorlesung gehört zu haben würde ich auf Anhieb den linearen teil diagonalisieren, also die neuen funktionen
y_a = y1 + y2
y_b = y1 - 3*y2
betrachten. Der x-abhängige Term ergibt sich aus der Transformation, der ist natürlich a*x + b*exp(cx).
die entkoppelten gleichungen kannst du lösen und wieder einsetzen.

wie gesagt weiß ich nicht, ob das der einfachste weg ist.

Siassei

klkllk schrieb:

Der x-abhängige Term ergibt sich aus der Transformation, der ist natürlich a*x + b*exp(cx).

Hier liegt ja mein Problem. Die von dir angedachte Lösung ist nicht korrekt. Die Ansätze für die parikuläre Lösung können ... sein.
y~1, p~ = A1 * x + A2 + A3 * exp(cx)
y~2, p~ = B1 * x + B2 + B3 * exp(cx)
mit c = 1

Oder

y~1, p~ = A1 * x + A2 + A3 * x * exp(cx)
y~2, p~ = B1 * x + B2 + B3 * x * exp(cx)
mit c = 1

Bloss, welcher Ansatz ist korrekt?

Siassei schrieb:

klkllk schrieb:

Der x-abhängige Term ergibt sich aus der Transformation, der ist natürlich a*x + b*exp(cx).

Hier liegt ja mein Problem. Die von dir angedachte Lösung ist nicht korrekt. Die Ansätze für die parikuläre Lösung können ... sein.

doch, das ist sie. da zeigt sich, dass deine konstante a für die entkoppelten gleichungen +2 resp. -2 ist, und du damit den ansatz _ohne_ x*exp(x) benutzen musst. hierfür brauchst du die dgl noch nicht mal transformieren, sondern nur die eigenwerte des linearen teils berechnen.