Dreiecksbereich integrieren

[SideWinder]

Ich soll eine Funktion f(x,y) über den Bereich (0,1) (1,2) (0,2) integrieren. Es handelt sich nach kurzer Skizze um ein Dreieck. Bisher habe ich immer nur rechteckige Bereiche integriert bzw. über einen Bereich den ich wie Substitution in ein Rechteck umwandeln konnte (bspw. via Transformation in Polarkoordinaten).

Wie nun? Ich nehme an eine Variable integriere ich über ihr Intervall, also bspw. x von 0 bis 1 und die andere muss ich dann im Verhältnis dazu ausdrücken, also:

x=0 => y geht von 1-2 also Bereich 1
x=1 => y ist quasi 0

Da das linear abnimmt wäre die Funktion dann -x? Stimmt das? Und wenn ja, ist das dann die obere oder die untere Grenze?

MfG SideWinder

[SideWinder]

Ich muss offenbar beide übrigen Seiten mitaufnehmen.

2 X-X
  |/
1 X

0

  0 1 2

Also x von 0 bis 1. Und die beiden Funktionen für y sind dann x+1 unten und 2 oben?

MfG SideWinder

[SeppJ]

Ich bin jetzt etwas verwirrt, was genau dein Integrationsgebiet ist, aber ja: Das innere Integral hat bei Dreiecken Grenzen die vom Integranden des äußeren Integrals abhängen, beispielsweise sowas:

$\int\_0^1 dx \int\_0^x dy f(x,y)$

[SideWinder]

Der Bereich ist durch die drei Punkte im ersten Posting (x,y) angegeben.

MfG SideWinder

[Nexus]

Ja, das Integral sieht so aus, wenn du zuerst über x und dann über y integrierst:

$\int\_0^1 \int\_{x+1}^2 f(x,y)\ dy\ dx$

Die Alternative wäre, zuerst in y-Richtung zu integrieren und im inneren Integral die Grenzen von y abhängig machen.

$\int\_1^2 \int\_0^{y-1} f(x,y)\ dx\ dy$