4. Taylorpolynom

Taylorpolynom

  • ?

    Ich gebe dir mal einen Tipp:

    Du hast e = e^1 = 1 + x + x^2/2! + ... + x^8/8! + R

    R ist dein Restglied. E = 1 + x + x^2/2! + ... + x^8/8! ist deine Näherung für e,
    Also e = E + R

    Der absolute Fehler ist dann e-E = R
    Der relative Fehler ist daann (e-E)/e = R/e

    (Ich vermute, den relativen Fehler ausrechnen ist einfacher)

    Jetzt schnappst du dir eine hübsche Restgliedformel (z.b. die oberste in dem Absatz http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Restgliedformeln ). Das einzige Ding, was du in der Formel nicht kennst, ist die Zwischenstelle Xi. Such dir einfach ein passendes Xi, dass den Fehler (betragsmäßig) möglichst groß macht, dann hast du deine Abschätzung.

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  • S

    So ich habe E jetzt einfach mal als Wert ausgerechnet:
    2,718253968

    Jetzt kann ich auch R ausrechnen: wäre 0,000024801
    Aber jetzt habe ich ja ein neues restglied.

    Deshalb vermute ich diese restgliedformel zu brauchen.

    Wenn ich die jetzt benutze wäre das in meinem fall:

    R = f8'(ε)/8!*(x-a)^8

    ist das schon mal richtig?
    Und wie bestimmte ich jetzt ε, a und x.
    Ist x wieder beim betrachungspunkt? dann wäre das 1.
    Also:
    R = f8'(ε)/8!*(1-a)^8

    Kann mir da vllt noch ma jemand weiter helfen... 😕
    Ich habe eigendlich das gefühl dass das garnicht so schwer ist. nur stehe ich scheinbar auf der leitung...

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  • B

    Sqwan schrieb:

    Deshalb vermute ich diese restgliedformel zu brauchen.

    Wenn ich die jetzt benutze wäre das in meinem fall:

    R = f8'(ε)/8!*(x-a)^8

    ist das schon mal richtig?
    Und wie bestimmte ich jetzt ε, a und x.
    Ist x wieder beim betrachungspunkt? dann wäre das 1.

    Ja.

    ε kennst du nicht, du weißt nur, dass ε im offenen Intervall ]0,1[ liegt. Du weißt nun, dass f^(8)(x) = ... = f'(x) = e^x ist, und diese Funktion ist streng monoton wachsend, d.h. für jedes ε gilt f^(8)(ε) < f^(8)(1) = e, und damit hast du deine Abschätzung für das Restglied:

    R(1) < e / 8!

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  • ?

    Du musst aufpassen: Wenn du das Taylorpolynom bis zum achten Glied auswertest, ist R = f^(9)(ε)/9! * (x-a)^9 (das Ding sieht also quasi so aus, wie der nächste Term der Taylorentwicklung, der nicht mehr in deinem Polynom drin ist).

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  • B

    Hatte er nicht geschrieben, er soll exp durch das Taylorpolynom 7. Grades approximieren?

    Man sollte einfach gleich eine Abschätzung für ein allgemeines n entwickeln, dann hat man solche Probleme nicht 🤡

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  • ?

    Bashar schrieb:

    Hatte er nicht geschrieben, er soll exp durch das Taylorpolynom 7. Grades approximieren?

    Irgendwie schon, hast recht. Aber im ersten Post fliegt auch noch ne 8 herum...

    Bashar schrieb:

    Man sollte einfach gleich eine Abschätzung für ein allgemeines n entwickeln, dann hat man solche Probleme nicht 🤡

    In diesem speziellen Fall sollte das ja auch keine große Herausforderung sein...

    0
  • S

    f^(8)(ε) < f^(8)(1) = e

    wieso ist das e?
    Das kann doch nicht so schwer sein.
    Da ist iwie ein knoten...

    Also ε kenne ich nicht. Aber ε muss ich herrausfinden oder?
    Also wie groß der fehler maximal sein kann.
    Dafür brauche ich diese formel nehme ich an.

    R = f8'(ε)/8!*(x-a)^8

    Wie komme ich jetzt auf R(1) ... Wieso 1.
    Und wo kommen die e/8! her... Die sind ja auch nicht in der formel.
    bzw e/8! ist ja eigendlich das ergebnis

    Kann das vllt jemand mal step by step machen...
    Ich muss das unbedingt verstehen. Denn das ergbis alleine hilft mir nichts wenn ich das in der Klausur nicht wieder kann...

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  • B

    Sqwan schrieb:

    f^(8)(ε) < f^(8)(1) = e

    wieso ist das e?

    Weil f(x) = e^x ist, und die 8. Ableitung immer noch e^x ist.

    Also ε kenne ich nicht. Aber ε muss ich herrausfinden oder?

    Im Allgemeinen kann man das nicht herausfinden, deshalb muss man so einen Abschätzungstrick machen.

    Also nochmal zum Mitmeißeln: f^(8)(x) = e^x, und da 0 < ε < 1 ist und e^x monoton wachsend ist folgt 1 = e^0 = f^(8)(0) < f^(8)(ε) < f^(8)(1) = e^1 = e.

    Das Restglied an der Stelle 1 ist R(1) = f^(8)(ε)/8! (der Term (x-a)^8 ist 1), also folgt nach der obigen Ungleichung R(1) < e/8!.

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  • S

    R(1) = f^(8)(ε)/8!
    Okay... ich glaub ich hab das meiste verstanden.

    (der Term (x-a)^8 ist 1) <-- ich nehme an das ist so weil da stehen sollte (x-x0).
    x = 1;
    x0= 0;
    damit also 1^8 = 1.

    Jetzt frag ich mich nurnoch warum aus:
    R(1) = f^(8)(ε)/8!
    R(1) = e/8! wird.

    Aus der ungleichung würd ich schließen:
    ε/8! < e^1

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  • B

    Sqwan schrieb:

    Jetzt frag ich mich nurnoch warum aus:
    R(1) = f^(8)(ε)/8!
    R(1) = e/8! wird.

    Wird doch gar nicht, woher hast du das denn? Man gewinnt so die Abschätzung R(1) < e/8!, keine Gleichheit! So, jetzt versuch bitte, die Argumentation nachzuvollziehen.

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  • S

    Es tut mir wirklich leid.
    Ich kann es nicht nachvollziehen. Zumal ich mir jetzt mal die Werte angesehen habe.

    bei meinem polynom kommt raus:
    2,718253968.
    Wenn ich das von e abziehe kommt da 0,00002786 raus.
    Das ist ja jetzt die genaue differenz.

    bei e/8! kommt aber raus: 0,000067417.

    eigendlich müsste das ja kleiner sein als 0,00002786.

    Ich komme immer weniger auf einen grünen zweig...

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  • S

    Also ich glaube ich habe eine 1a erklärung gefunden in einem skript von einem anderen matheprof an der uni...

    |R| = |f(x) - Pn(x-x0)|≤ C/(n+1)!*|x-x0|^(n+1);

    Das steht da als Formel. C ist die obere schranke.
    die obere schranke ist ja e^1 da wir als betrachtungsüunkt 1 vorgegeben bekommen haben. Der entwicklungspunkt ist 0. Also ein intervall von 0 bis 1.
    Macht dann eine oberschranke von e^1 = e;

    |R| = |e - 2,718253968|≤ e/(7+1)!*|1-0|^(7+1);
    ich nehme an |e - 2,718253968| = ε

    Also vereinfacht |R| = ε≤ e/(8)!

    Das ist jetzt in der Formel einfach so vorgegeben. Woher die e/8! kommt weiß ich immer noch nicht, aber ich weiß schonmal wie man die formel anwendet...
    bzw ich weiß warum da e/8! steht... aber ich frage mich woher das c/(n+1)! kommt...
    Es steht so in der Formel, ok... aber reicht es meinem Prof wohl wenn ich das einfach so hin nehme und einsetze?

    EDIT:
    http://www.gm.fh-koeln.de/~konen/Mathe1-WS0809/ZD1-Kap05.pdf

    Dashier ist das besagte skript eines proffessors an der FH köln, den ich in der ersten hälfte meines semesters sogar hatte.

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  • B

    Ich werd das jetzt mal versuchen, absolut ausführlich zu beschreiben. Wenn du daran was nicht verstehst, frag bitte unter Bezug auf den Schritt, ab dem es unklar ist, nach. (Ach übrigens, ich hab mal ξ statt ε verwendet, ist einfach üblicher, ε verwendet man eher für kleine positive Zahlen, ε-Umgebungen und sowas)

    Aufgabe: Gesucht ist eine Abschätzung für den Fehler, den man an der Stelle x=1 macht, wenn man die Exponentialfunktion durch ihr Taylorpolynom 7. Grades im Entwicklungspunkt a=0 approximiert.

    Nach dem Satz von Taylor gilt für jedes n

    \exp x = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} + R_n(x)$$ mit dem Restglied (in Lagrange-Form) $$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$ für ein $$\xi \in ]a,x[$$. Offenbar ist das siebte Restglied, $$R_7(x) = \frac{f^{(8)}(\xi)}{8!} (x-a)^8$$ genau der entstehende Fehler. Ich setze jetzt den Entwicklungspunkt a=0, den uns interessierenden Punkt x=1 und die Funktion f(x) = exp x ein. Die Ableitung von exp ist wieder exp, also ist auch $$f^{(8)}(x) = \exp x$$: $$R_7(1) = \frac{\exp \xi}{8!}(1-0)^8 = \frac{\exp \xi}{8!}

    Viel besser geht es nicht, da wir ξ nicht kennen, wir wissen nur, dass ξ sich im offenen Intervall ]a,x[ = ]0,1[ befindet. Also suchen wir eine obere Abschätzung für den Fehler, also eine Zahl E, die auch, wenn wir mit der tatsächlichen Lage von ξ großes Pech haben, auf jeden Fall mindestens so groß wie der tatsächliche Fehler ist. Auf keinen Fall nützt uns eine "Abschätzung" etwas, die manchmal auch kleiner als der tatsächliche Fehler ist. Im Zweifel lieber zu groß als zu klein. Soviel zur Motivation, jedenfalls wollen wir eine Zahl E haben, so dass für alle möglichen ξ$$E \geq \frac{\exp\xi}{8!}$$ ist.

    Wie kriegen wir nun ein schönes E raus? Wie sieht denn die exp-Funktion im Intervall ]0,1[ aus? exp(0) ist 1 und exp(1) ist e, und dazwischen ist exp monoton wachsend. Wenn wir also ein ξ aus ]0,1[ haben, dann muss exp ξ zwischen 1 und e liegen:

    1<expξ<e1 < \exp \xi < e

    Dividiert man die Ungleichung noch durch 8!, bekommt man

    \frac{1}{8!} < \frac{\exp\xi}{8!} < \frac{e}{8!}$$, also (das rechte kleiner-als-Zeichen): $$R_7(1) < \frac{e}{8!} =: E

    Das wars eigentlich. Die untere Schranke ist nicht so interessant. Ach ja, einiges da oben ist mathematisch sicher nicht ganz sauber. So habe ich z.B. stillschweigend x>a vorausgesetzt, auch sollte man allgemein sagen, dass man $$\sup_{\xi\in]0,1[} \exp\xi$$ sucht, bevor man den Trick mit der Monotonie aus dem Ärmel zieht. Dass exp stetig ist, ist für die Argumentation auch nicht ganz unwichtig.

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