4. Problem mit Binomialverteilung

Problem mit Binomialverteilung

  • I

    Hallo zusammen
    Ich habe hier eine scheinbar äusserst einfache Aufgabe über die Binomialverteilung, finde aber die Lösung einfach nicht:

    On suppose que dans un livre de 500 pages, il y a 300 fautes d'impression distribuées au hasard. Calculer la probabilité p pour qu'une page donnée contienne 2 fautes d'impression ou plus. Utilisier la loi binomiale

    Ich bin nicht gerade ein Experte in Franz aber ich glaube auf Deutsch heisst das:

    Man nimmt an, dass es in einem 500 seitigen Buch 300 zufällig verteilte Druckfehler hat. Berechne die Wahrscheinlichkeit p, dass es auf einer zufällig entnommenen Seite 2 oder mehr Druckfehler hat. Benutze die Binomialverteilung

    Ich habe mal folgendes versucht:
    P(X >= 2) = 1-(P(X = 0)+P(X = 1))
    P(k) = binomial(n,k)*pk*(1-p)(n-k)

    Irgendwie verstehe ich allerdings nicht, wie die Parameter für die Binomialverteilung aussehen sollen. Also p ist wohl 3/5 (3 von 5 Seiten enthalten einen Fehler), n ist wohl 1 (Wir entnehmen 1 Sample) aber was ist mit k? Ich meine k darf ja IMHO nicht grösser sein als n, aber wie würde ich dann bspw. die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine zufällig entnommene Seite genau 19 Fehler hat? k = 19, binomial(1,19)? Wohl kaum...

    Was ich weiterhin nicht verstehe:
    Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Seite genau einen Fehler enthält ist IMHO 3/5.
    Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Seite keinen Fehler enthält ist dann IMHO 2/5.
    Und die Wahrscheinlichkeit, dass eine Seite mindestens 2 Fehler enthält wäre doch dann die Gegenwahrscheinlichkeit davon, dass eine Seite keinen oder genau 1 Fehler enthält. Aber 1-(3/5+2/5) ist dann einfach 0...

    Hmmm... Vielleicht bin ich einfach schon zu lange am lernen, aber im Moment blicke ich überhaupt nicht mehr durch und verstricke mich nur noch in Wiedersprüche...

    Weiss vielleicht jemand von euch, wie man diese Aufgabe (diesen Aufgabentyp) korrekt löst, das wäre mir eine super Hilfe! 🙂

    Mfg Samuel

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  • I

    Ich habe das Ganze noch schnell mit der Poissonverteilung gelöst und da komme bis zur dritten Nachkommastelle an die Lösung:

    P(x > 2) = 1-(3/5*exp(-3/5)+exp(-3/5)) = 0.12190

    Die Lösung (mit der Binomialverteilung) sollte 0.12177 sein

    P.S.
    Ich habe hier für n auch 1 (1 Sample) genommen:
    Lambda = n*p = 1*3/5 = 3/5

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  • I

    Mittlerweile habe ich es noch mit Maple durchgerechnet:

    f := (n,k,p)->binomial(n,k)*pk*(1-p)(n-k);
    1-(f(1,0,3/5)+f(1,1,3/5));

    Resultat (wie erwartet) = 0

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  • V

    Ishildur schrieb:

    Mittlerweile habe ich es noch mit Maple durchgerechnet:

    f := (n,k,p)->binomial(n,k)*pk*(1-p)(n-k);
    1-(f(1,0,3/5)+f(1,1,3/5));

    Resultat (wie erwartet) = 0

    Damit hast Du ausgerechnet die Wahrscheinlichkeit, daß das ganze Buch mindestens 2 Fehler hat und da müßte 1 rauskommen, wenn ich mich nicht irre.
    edit: nee, hatte f(500,0,3/5) verstanden. kann nicht erkennen, was du gerechnet hast.
    Müßte n nicht 300 sein für die 300 Fehler?
    Auf einer Seite sind dann 0 oder 1 oder 2 oder...oder 300 Fehler. k kann dann sinnvoll von 0 bis 300 laufen und nicht mehr.

    f := (n,k,p)->binomial(n,k)*pk*(1-p)(n-k);
    1-(f(300,0,3/5)+f(300,1,3/5));
    edit: War auch falsch, aber n zu finden, hat dann den Weg zum folgenden geöffnet.

    0
  • V

    Autsch!
    k:"Fehleranzahl auf dieser Seite"
    p("Dieser Fehler auf dieser Seite")=1/500 😋

    f := (n,k,p)->binomial(n,k)*pk*(1-p)(n-k);
    1-(f(300,0,1/500)+f(300,1,1/500));

    Resultat=0.1217692891

    Die Lösung (mit der Binomialverteilung) sollte 0.12177 sein

    Jupp.

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  • I

    Ist das Resultat von deiner Rechnung nicht genau 1?

    Edt:
    Hehe, habe deinen Edit zu spät gesehen...

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  • I

    Ja das Resultat stimmt, aber ich verstehe es immer noch nicht so ganz. Was wäre denn, ich ich fragen würde: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf 5 Seiten mindestens 2 Fehler auftauchen?

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  • V

    Ishildur schrieb:

    Ja das Resultat stimmt, aber ich verstehe es immer noch nicht so ganz. Was wäre denn, ich ich fragen würde: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf 5 Seiten mindestens 2 Fehler auftauchen?

    Ich vermute

    k:"Fehleranzahl auf diesen 5 Seiten"
    p("Dieser Fehler auf diesen 5 Seiten")=5/500

    1- ( f(300,0,5/500)+f(300,1,5/500)) = 0.8024

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  • I

    OK, jtzt habe ich es gesehen!
    Ich danke dir vielmals Volkard 🙂

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