Tangens Hyperbolicus u. kumulative Normalverteilung
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Hallo zusammen
Während meinem Studium verschiedenster Funktionsgraphen ist mir aufgefallen, dass der Tanges Hyperbolicus eine frappierende Ähnlichkeit mit der kumulativen Dichtefunktion der gauss'schen Standard Normalverteilung aufweist und tatsächlich ist es mir gelungen, nach einigen Anpassungen des Tangens Hyperbolicus die Werte in der Standard Normalverteilungstabelle erstaunlich gut zu approximieren?Hat dies eine mathematische Bedeutung oder ist dies purer Zufall?
Mfg Samuel
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Ishildur schrieb:
Hat dies eine mathematische Bedeutung oder ist dies purer Zufall?
Mfg Samuel
tanh ist das integral von sech^2, welches eine sehr ähnliche form zur gaussfunktion hat. du kannst ja mal die grenzwerte für x -> unendlich und x nahe Null betrachten um die Ähnlichkeit zu überprüfen
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Ich habe folgende Formel für die Approximation der kumulativen Dichtefunktion erarbeitet, leider fehlen mir die Parameter a,b,c, welche vom Erwartungswert sowie der Varianz der Normalverteilung abhängig sind...
a+b*tanh(x*c)
Für die Standardnormalverteilung bin ich auf:
a = 1, b = 1/2, c = 0.93 gekommen, aber einfach mit ausprobieren...
Hat vielleicht jemand eine Idee, wie man diese Parameter berechnen könnte?
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Ishildur schrieb:
a = 1, b = 1/2, c = 0.93 gekommen, aber einfach mit ausprobieren...
Hat vielleicht jemand eine Idee, wie man diese Parameter berechnen könnte?
a und b sind klar, da du eine wahrscheinlichkeitsverteilung möchtest. der erwartungswert ist offensichtilch auch immer null. jetzt kannst du zum beispiel die varianz deiner verteilung in abhängigkeit von c ausrechnen und hast deine formel. die varianz wäre
𝛔²(c) = 𝛔² = ∫ ∂/∂x(a + b*tanh(c*x)) * x² sigma^2(c) = sigma^2 = integral[ d/dx( a + b * tanh(c * x)) * x^2 dx ]
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Ishildur schrieb:
erstaunlich gut zu approximieren?
Hat dies eine mathematische Bedeutung oder ist dies purer Zufall?
Mfg Samuel
Wenn du den Grenzwert für große x betrachtest wirst du übrigens feststellen, dass die übereinstimmung sogar erstaunlich schlecht ist, weil die eine dichteverteilung mit e^x², die andere mit e^x abfällt.