Maximum von Betragssummen holomorpher Funktionen
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Ich sitze seit 2 Tagen (natürlich nicht ununterbrochen) an folgender Aufgabe:
Sei $$G \subset \mathbb{C}$$ ein Gebiet und $$f,g : G \rightarrow \mathbb{C}$$ holomorph, sowie $$K \subset G$$ kompakt. Zeigen Sie, dass die Funktion $$\left(\left|f\right| + \left|g\right|\right)|_{K}$$ ihr Maximum auf $$\partial K$$ annimmt.
Das ganze wäre trivial, wenn es nur um eine Funktion gehen würde, oder um $$\left|f + g\right|$$, indem man den Satz vom Maximumprinzip anwendet.
Mit den 2 Funktionen habe ich aber keine Idee, nicht mal mit dem Satz von der offenen Abbildung kommt man wirklich weiter, weil ja wenn man mit dem z-Wert so variiert, dass der Betrag der einen Funktion größer wird, der Betrag der anderen Funktion kleiner werden könnte.
Viele Grüße,
Felix