Gruppe Kommutativität beweisen
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Sei (G,
eine Gruppe. Bei der a^2 = 1 gilt.
Beweisen Sie dass G kommutativ ist.Ich habe leider 0 Ahnung wie das geht.
Mein Ansatz war einfach eine Multiplikationstabelle.
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Mal so als Ansatz:
Seien $$a, b \in G$$. Dann ist $$abab = 1$$.
...
Also ist $$ab = ba$$
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um ehrlich zu sein ... das verstehe ich nicht, fehlt da etwas?
oder wie bekommst du ba auf die andere Seite?
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Ja da fehlt was, weil ich dir nicht den ganzen Beweis hinschreiben wollte.
Denk mal nach, warum die erste Aussage stimmt, und wie ich ba auf die andere Seite bekomme.PS: Ich hab nen wunderschönen Einzeiler, aber den bekommst du erst, wenn ich einen Beweis sehe.
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sry, ich hatte das heute in einer klausur, besser gesagt ich hatte es eben nicht ich hab mich lange genug geärgert... ich suche nur noch Lösungen.
Ich ghe davon aus dass ich nur von links multiplizieren darf. Vlt ist diese Annahme ja falsch.
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Gut, hier der Einzeiler:
Und von rechts anmultiplizieren funktioniert: Aus $$a = b$$ folgt, dass $$ac = bc$$. Die Gegenrichtung gilt auch, aber nur, weil es in Gruppen Inverse gibt.
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shisha schrieb:
Bei der a^2 = 1 gilt.
Für jedes Element aus der Gruppe oder existiert nur eins? Der Beweis funktioniert nur, wenn es für jedes Element gilt. So, wie ich das sehe...
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Offensichtlich für alle.
Eins für das das gilt, gibt es ja in jeder Gruppe, nämlich das neutrale Element selber.