Variationsformulierung - Eindeutigkeit der Lösung
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Ich versuche gerade, die Variationsformulierung für elliptische Randwertaufgaben zu verstehen. Was ich meine verstanden zu haben:
Die elliptische DGL
$ \- \nabla \cdot \left( {A\nabla u} \right) + b \cdot \nabla u + cu = f\quad in\:\:\Omega ,\quad \quad u = 0\quad auf\:\:\partial \Omega $wird gelöst, indem man ein
$u \in V = H_0^1\left( \Omega \right)$findet, so dass
$\underbrace {\int\limits_\Omega {\left[ {A\nabla u \cdot \nabla v + \left( {b \cdot \nabla u} \right)v + cuv} \right]dx} }_{ = a\left( {u,v} \right)} = \underbrace {\int\limits_\Omega {fv\:dx} }_{ = L\left( v \right)}\quad \forall v \in V$Was ich mich nun frage ist, ob eine eindeutige Variationslösung existiert.
Für
$$\begin{array}{*{20}{c}} { \- \Delta u = f} & {in\:\:\Omega } \\ {u = 0} & {auf\:\:\Gamma = \partial \Omega } \\ \end{array} $$scheint es eine zu geben, für
$$\begin{array}{*{20}{c}} { \- \Delta u = f} & {in\:\:\Omega } \\ {\frac{{\partial u}} {{\partial n}} = g} & {auf\:\:\Gamma = \partial \Omega } \\ \end{array}$$aber nicht. Woran liegt das? Und stimmt es überhaupt?
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stichwort Lax-Milgram Lemma.
hast du eine stetige und V elliptische bilinear Form auf V, so gibs ne einedeutige Lösungvon u in V
a(u,v) = <f,v> für alle v in Vdas gilt auch für das zweite problem allerdings nicht im selben raum wie für das erste, also im H^1. Das ist auch klar weil die randbedingungen ja auch für funktionen erfüllt die sich nur um eine Konstante unterscheiden (fällt ja beim ableiten raus).
Betrachtet man allerdings den Faktor raum H^1/R (R relle zahlen) findet man dort eine eindeutige Lösung für das Neumanproblem.ps: sry latex tags haben irgendwie nich funktioniert