Matrizen mit Rang 0.
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Hallo,
haben eigentlich die Matrizen den Rang 0, wenn es keine Treppennormalform von ihnen gibt?Gruß,
m.
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Eine Matrix $$A \in K^{m \times n}$$ ( K ist ein Körper) hat genau dann Rang 0, wenn das Bild der zugehörigen linearen Abbildung $$f_A : K^n \to K^m, x \mapsto Ax$$ Dimension 0 hat, also gleich dem Nullraum ist. Und die einzige lineare Abbildung, deren Bildraum der Nullraum ist, ist die Nullabbildung $$0: K^n \to K^m, x\mapsto 0$$. Die entspricht der Nullmatrix. Das ist also die einzige Matrix mit Rang 0.
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Tja, das Problem ist: Lineare Abbildungen hatte ich noch nicht.
$ \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 0\\ 5 & 6 \end{smallmatrix}\bigr) $
Ich frage mal anders, ich habe die Matrix A, die so aussieht:Welchen Rang hat sie?
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mathematikpraktikant schrieb:
haben eigentlich die Matrizen den Rang 0, wenn es keine Treppennormalform von ihnen gibt?
Es gibt von jeder Matrix eine Treppennormalform.
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mathematikpraktikant schrieb:
Welchen Rang hat sie?
1. Und ihre Treppennormalform ist $$\begin{pmatrix}1 & \frac{6}{5}\0 & 0\end{pmatrix}$$
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Bashar schrieb:
mathematikpraktikant schrieb:
Welchen Rang hat sie?
1. Und ihre Treppennormalform ist $$\begin{pmatrix}1 & 6\0 & 0\end{pmatrix}$$
Aaaah verflixt! Mann darf ja die Zeilen tauschen, hätte ich fast vergessen :D, danke für den Tipp!
$ \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 5/6\\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr) $
Aber du meinst bestimmt?
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Sorry, Zahlendreher! Meine natürlich 6/5
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Stimmt, hab's korrigiert.
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Hmm, jetzt habe ich mal so eine Matrix hier
$ \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr) $Sie ist in der Treppennormalform. Ist die eins ein Pivotelement, obwohl sie nicht auf der Diagonalen liegt?
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mathematikpraktikant schrieb:
Hmm, jetzt habe ich mal so eine Matrix hier
$ \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr) $Sie ist in der Treppennormalform. Ist die eins ein Pivotelement, obwohl sie nicht auf der Diagonalen liegt?
ja!