Gibt es mehr wahre als falsche Aussagen?
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OT
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Definiere "mehr".
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Ich würde mal spontan sagen: Nein. Sondern im Gegenteil gibt es mehr falsche Aussagen als wahre Aussagen.
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Achtung! Dieser Beweis ist falsch (Siehe unten). Ich lasse ihn aber hier stehen, damit man sieht, wie sich die Diskussion entwickelt hat.
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Beweisskizze:
Wahre Aussage: Reelle Zahl x ist gleich x. Nenne Aussagen dieses Typs A.
Falsche Aussage: Reelle Zahl x ist gleich reeller Zahl y mit y ungleich x. Nenne aussagen dieses Typs B.Dann kann man, wenn man sich etwas Zeit nimmt, zeigen, dass keine Bijektion A->B existiert. Umgekehrt findet man leicht eine Bijektion B->A, indem man beispielsweise aus B die Aussage x=x+1 auf die Aussage x=x aus A abbildet.
Somit ist die Mächtigkeit des Aussagentyps B größe als die des Aussagentyps A.
Dieses Schema wendet man auf alle anderen Aussagen an. Man nehme eine wahre Aussage, und finde eine kontinuierliche Abänderung dieser Aussage die falsch ist. Es ist intuitiv klar, dass man jede wahre Aussage irgendwie leicht abändern kann, so dass diese falsch wird.
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als Laie würde ich mir nicht zutrauen "mehr" zu definieren. Welche Definitionen sthen denn zur Auswahl?
Wenn man jede Aussage im Computer abbilden kann, und man alle Computerprogramme aufzählen kann, dann wären die wahren und die falschen Aussagen abzählbar. (Wenn man jede Aussage überprüfen kann.) Mathematisch wären also beide Mengen gleich mächtig?
Notfalls könnte man ein dritte Menge "Unentscheidbar" einführen. Dann wären alle drei Mengen gleich mächtig?
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Ich habe "mehr" jetzt im mathematischen Sinne der Mächtigkeit aufgefasst:
http://de.wikipedia.org/wiki/Mächtigkeit_(Mathematik)In einem Computer, selbst mit unendlichem Speicher, kann man nicht alle Aussagen aufzählen, das ist ein Elementarer Beweis in der Informatik. Es gibt kontinuierlich viele Aussagen, ein Computer hat aber abzählbar viele Zustände.
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Das erinnert mich an einen lustigen Beweis:
Für g = gerade Zahl, u = ungerade Zahl:
g * g = g
g * u = g
u * g = g
u * u = u
Folgerung: Es gibt dreimal soviele gerade wie ungerade Zahlen.Vielleicht sollte man neben "mehr" auch "Aussage" definieren. Boolsche Aussagenlogik mit den Operatoren und, oder, nicht und gleich?
Das könnte man durchzählen, aber es würde sich mit der Auswahl der Operatoren ändern. Man könnte alle unären und binären Operatoren zulassen, aber dann wäre es gleich verteilt denke ich.
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Das heißt es gibt Aussagen die sich nicht im Computer abbilden lassen. Vielleicht sowas wie Pi=EulerZahl, da sich keine dieser Zahlen im Computer speichern lassen.
Die falschen Aussage x+1=x könnte ich aber auf x+1!=x+1 abbilden?
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So meinte ich das:
abcd schrieb:
Die falschen Aussage x+1=x könnte ich aber auf x+1!=x abbilden?
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Ausgehend von der klassischen Logik (dh insbesondere inklusive dem Satz vom Ausgeschlossenen Dritten): Zu jeder Aussage A gibt es eine Aussage ~A mit dem entgegengesetzten Wahrheitswert. Negieren einer Aussage ist injektiv, also gibt es zwischen den Mengen der falschen und der wahren Aussagen eine gegenseitige Injektion, die Mengen sind also gleichmächtig.
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SeppJ schrieb:
Dann kann man, wenn man sich etwas Zeit nimmt, zeigen, dass keine Bijektion A->B existiert. Umgekehrt findet man leicht eine Bijektion B->A, indem man beispielsweise aus B die Aussage x=x+1 auf die Aussage x=x aus A abbildet.
Willst Du etwa behaupten, dass R und R^2 nicht gleichmächtig sind? Dann nimm dir doch mal bitte das bißchen Zeit.
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Das heißt beide Mengen wären gleich mächtig. Zu einer falschen Aussage X kann man leicht eine richte finden indem man "gilt nicht" dran hängt und umgekehrt.
Der Ausgangspunkt ware eine Diskussion die sich irgendwie zu obiger Frage über Aussagen entwickelt hat. Ich muß jetzt erstmal meditieren wie diese Disskussion heute Mittag angefangen hat*g*
Erstmal vielen Dank Euch allen
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abcd schrieb:
So meinte ich das:
abcd schrieb:
Die falschen Aussage x+1=x könnte ich aber auf x+1!=x abbilden?
Clever, daran hatte ich gar nicht gedacht.
Und wie Jester bemerkt hat, würde aus meinem "Beweis" auch etwas bekannt falsches folgen.
Da muss ich doch nochmal nachdenken. Nun würde ich eher zu Gleichmächtigkeit tendieren, aber vor einem Beweis mag ich mich nicht festlegen. Den Fehler in meiner Skizze sehe ich aber ein und ziehe diese zurück.
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Das sollte nun aber stimmen (Boolsche Logik vorausgesetzt, mit anderen Logiksystemen bin ich nicht vertraut genug, vielleicht geht es da auch):
Sei A die Menge aller wahren Aussagen {a}.
Sei B die Menge aller falschen Aussagen {b}.
Dann gilt für jedes a, dass !a falsch ist und für jedes b gilt, dass !b wahr ist.
Somit gibt es zu jedem a ein Element !a in B und zu jedem b gibt es eine Aussage !b in A.
Somit sind beide Mengen gleich mächtig.
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Das schrub ich ja schon
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Bashar schrieb:
Das schrub ich ja schon
Ups. Dein kleiner Zweizeiler ist beim Lesen irgendwie untergegangen.
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Die Diskussion hatte so angefangen: Alle Dinge die es gibt sind wahr, weil widerspruchsfrei. Es sind jedoch eine Menge Dinge denkbar die es nicht in unsere Welt geschafft haben, weil sie einen Widerspruch beinhalten. Von diesen Dingen muß es aber viel mehr geben. Beispiel: Hier liegt ein Kugelschreiber, der ist wahr weil es ihn gibt. Es wäre aber eine Menge anderer Dinge denkbar die an dieser Stelle liegen. Diese Dinge sind jedoch falsch, weil sie zu einem Widerspruch führen. zB weil ich mein 16'er MG heute nicht mit zur Uni genommen habe und es folglich hier nicht vor mir liegen kann*g*
Die Frage wäre also: Gibt es mehr Dinge die es nicht gibt als Dinge die es gibt?Dafür eine bijektive Abbildung zu finden wäre etwas schwer. Notfalls wieder über die Simulation. Annahme: Ich kann alles in einem Computer abbilden.
Folglich alles aufzählen, folglich gleichmächtig. (Die falschen Dinge wären dann die Simulationen die irgendwann zu einem Crash führen)
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Bashar schrieb:
Ausgehend von der klassischen Logik (dh insbesondere inklusive dem Satz vom Ausgeschlossenen Dritten): Zu jeder Aussage A gibt es eine Aussage ~A mit dem entgegengesetzten Wahrheitswert. Negieren einer Aussage ist injektiv, also gibt es zwischen den Mengen der falschen und der wahren Aussagen eine gegenseitige Injektion, die Mengen sind also gleichmächtig.
Warum sollte die Klasse der wahren Aussagen eine Menge sein?
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blubbbbbbbbb schrieb:
Warum sollte die Klasse der wahren Aussagen eine Menge sein?
Weil Aussagen endliche Wörter sind.
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abcd schrieb:
Gibt es mehr Dinge die es nicht gibt als Dinge die es gibt?
Dinge die es nicht gibt, gibt es nicht. Also gibt es mehr Dinge, die es gibt, also solche, die es nicht gibt
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Bashar schrieb:
blubbbbbbbbb schrieb:
Warum sollte die Klasse der wahren Aussagen eine Menge sein?
Weil Aussagen endliche Wörter sind.
Auf einem endlichen Alphabet.
