Gibt es mehr wahre als falsche Aussagen?

[Christoph]

knivil schrieb:

Naja, wir wissen nicht, ob es widerspruchsfrei ist. Mein alter Matheprof. glaubt nicht mehr an das Auswahlaxiom und hadert immer, wenn er es nehmen muss. http://abstrusegoose.com/133

Wenn die Mengenlehre (d.h., "ZF") widerspruchsfrei ist, dann ist auch "ZF mit Auswahlaxiom" widerspruchsfrei. Das ist ein Theorem der Mengenlehre.

Insofern kann man durch das Auswahlaxiom garantiert keine Widersprüche bekommen, außer man hatte schon ohne Auswahlaxiom welche.

Bashar schrieb:

Moment mal, ein Axiomensystem (ich sag dazu Theorie, oder ist das nicht das gleiche? Theorie ist Sprache + Axiome) ist widersprüchlich genau dann, wenn in ihm der elementare Widerspruch ("falsum", $$\bot$$) ableitbar ist (oder irgendeine äquivalente Formulierung). Nicht aufgrund irgendwelcher Probleme in der Magengegend, die einem z.B. das Banach-Tarski-Paradoxon bereiten könnte.

Stimmt. Vor allem ist Widerspruchsfreiheit eine syntaktische Angelegenheit, keine semantische, denn es geht darum, einen Widerspruch abzuleiten. Das ist vor allem deswegen wichtig, weil Widerspruchsfreiheit dadurch zu einer endlichen Angelegenheit wird: Wenn man einen Widerspruch ableiten kann, dann muss der Ableitungsbaum per Definition endlich sein (in üblichen Logiken).

[knivil]

Ich verweise nur auf die Kritik bei Wikipedia, selbst halte ich mich da raus.

[otze]

Christoph schrieb:

Wenn die Mengenlehre (d.h., "ZF") widerspruchsfrei ist, dann ist auch "ZF mit Auswahlaxiom" widerspruchsfrei. Das ist ein Theorem der Mengenlehre.

das würde mich ja interessieren. Mir ist bekannt, dass sich Eigenschaft von Mengen auf ihre Untermengen vererben "wenn ZFC widerspruchsfrei ist, dann ist auch ZF widerspruchsfrei". Aber umgekehrt gilt diese Eigenschaft im Allgemeinen nicht.

Ich finde es auch sehr komisch, weil ZFC nicht aus ZF ableitbar ist. Es gibt also etwas, was definitiv neu ist und dadurch potentielle Widersprüche erzeugen kann. Das folgt doch schlichtweg aus der Tatsache, dass man mit ZFC dinge beweisen kann, die mit ZF nicht beweisbar sind. Und da halte ich es schon für eine gewagte Aussage, dass jede mit ZFC beweisbare Aussage widerspruchsfrei zu ZF ist.

[Christoph]

otze schrieb:

Christoph schrieb:

Wenn die Mengenlehre (d.h., "ZF") widerspruchsfrei ist, dann ist auch "ZF mit Auswahlaxiom" widerspruchsfrei. Das ist ein Theorem der Mengenlehre.

das würde mich ja interessieren. Mir ist bekannt, dass sich Eigenschaft von Mengen auf ihre Untermengen vererben "wenn ZFC widerspruchsfrei ist, dann ist auch ZF widerspruchsfrei". Aber umgekehrt gilt diese Eigenschaft im Allgemeinen nicht.

Das stimmt. "ZFC widerspruchsfrei" => "ZF widerspruchsfrei" ist trivial.

otze schrieb:

Ich finde es auch sehr komisch, weil ZFC nicht aus ZF ableitbar ist. Es gibt also etwas, was definitiv neu ist und dadurch potentielle Widersprüche erzeugen kann. Das folgt doch schlichtweg aus der Tatsache, dass man mit ZFC dinge beweisen kann, die mit ZF nicht beweisbar sind. Und da halte ich es schon für eine gewagte Aussage, dass jede mit ZFC beweisbare Aussage widerspruchsfrei zu ZF ist.

Es ist ein überraschendes Ergebnis, keine Frage. Vielleicht wird es klarer, wenn ich die Beweisidee ganz grob skizziere.

Wenn X ein Axiomensystem ist, wie kann man "X ist widerspruchsfrei" zeigen? Man kann sicher nicht alle möglichen Ableitungen ausprobieren, davon gibt es viel zu viele. Stattdessen kann man ein Modell von X angeben. Ein Modell besteht aus einer Menge A und Interpretationen für die Funktions-, Relationssymbole und Konstanten in der Sprache. Ein Modell ist ein Modell von X, wenn alle Axiome, die in X stehen, darin wahr sind.

Wenn es ein Modell von X gibt, dann muss X widerspruchsfrei sein, das ist klar (denn in einem konkreten Modell kann kein Widerspruch existieren). Andersrum sagt der Kompaktheitssatz: Wenn X widerspruchsfrei ist, dann gibt es ein Modell von X.

Also ist die Aussage "X ist widerspruchsfrei" äquivalent zu "es gibt ein Modell von X".

Es geht jetzt darum, die Aussage "ZF widerspruchsfrei => ZFC widerspruchsfrei" zu zeigen. Wir zeigen stattdessen die äquivalente Aussage "ZF hat ein Modell => ZFC hat ein Modell".

Wir nehmen also an, M ist ein Modell von ZF. Wie dieses Modell konkret aussieht, wissen wir nicht. Es könnte sein, dass M schon ein Modell von ZFC ist, aber das wissen wir auch nicht.

Das nächste Ziel ist jetzt, aus dem Modell M ein neues Modell M' zu basteln, sodass M' ein Modell von ZFC ist. Für diese Konstruktion gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine sehr allgemeine (und komplizierte) Möglichkeit nennt sich "Forcing". Mit Forcing funktioniert es auf jeden Fall, aber ich meine, dass man ein ZFC-Modell auch ohne Forcing basteln kann, und zwar so:
Man definiere M' = { x \in M | x konstruierbar } wobei "x konstruierbar" in diesem Sinne zu verstehen ist. Der relevante Punkt dabei ist, dass die Potenzmengen-Operation P(X) nicht mehr die Menge *aller* Teilmengen von X ist, sondern nur noch die Menge aller Teilmengen von X, die auch durch eine Formel definierbar sind.

Jedenfalls ist M' ein Modell. Jetzt kann man nachrechnen, dass M' immer noch ein Modell von ZF ist, obwohl in M' im allgemeinen weniger Mengen sind als in M. Der Knackpunkt ist aber, dass in M' sogar das Auswahlaxiom wahr ist. Damit ist M' ein Modell von ZFC.

Da ZFC dann ein Modell hat, muss ZFC widerspruchsfrei sein.

edit: Ganz entscheidend ist hierbei die Annahme "ZF widerspruchsfrei". Es ist (nach derzeitigem Stand) unmöglich zu zeigen, dass ZFC widerspruchsfrei ist, ohne eine solche oder ähnliche Annahme. Könnte man die Widerspruchsfreiheit von ZFC ohne weitere Annahmen zeigen, wäre ZFC nicht widerspruchsfrei. Das ist wieder der gödelsche Unvollständigkeitssatz, der dahinter steckt (Link).

[ipsec]

DerBaer schrieb:

Nochwas:
folgender Satz ist sicherlich wahr:

"Dieser Satz enthält 30 Zeichen"
oder noch besser:
"Das ist ein Satz"

Aber was passiert wenn ich ihn negiere? Bzw. wie muss ich ihn negieren, damit er nicht mehr wahr ist?

Die Negierung der 2. Aussage ist ja trivil: Es is kein Satz --> offensichtlich falsch. Beim ersten ist schon richtig, das erstmal scheinbar ein Wiederspruch entsteht, weil "Dieser Satz enthält nicht 30 Zeichen" offenbar auch wahr ist. Allerdings bezieht sich das ja auf einen ganz anderen Satz. Die korrekte Negierung wäre damit IMHO: "Der gepostete Satz enthält keine 30 Zeichen", und das ist falsch.

Außerdem (meine ich, es mag naiv klingen) ist es doch eigentlich egal, was genau formal eine Aussage ist, nur unter der Voraussetzung, dass eine Aussage entweder wahr, falsch oder unentscheidbar sein kann und man aus jeder wahren Aussage eine falsche machen kann und andersrum. Das dürfte bei jeder Definition von Aussage erfüllt sein, oder irre ich? Dies angenommen, müsste es dann m.E. gleich viele wahre und falsche Aussagen geben.

[ipsec]

einfach überlesen, hab Editieren mit Zitieren vertauscht...

[Christoph]

ipsec schrieb:

Außerdem (meine ich, es mag naiv klingen) ist es doch eigentlich egal, was genau formal eine Aussage ist, nur unter der Voraussetzung, dass eine Aussage entweder wahr, falsch oder unentscheidbar sein kann und man aus jeder wahren Aussage eine falsche machen kann und andersrum. Das dürfte bei jeder Definition von Aussage erfüllt sein, oder irre ich? Dies angenommen, müsste es dann m.E. gleich viele wahre und falsche Aussagen geben.

Was passieren kann, wenn man versucht auf nicht formalisierten Grundlagen Mathematik zu betreiben, sieht man schön an Russells Paradoxon. Fazit ist, dass man sich mit naiven Vorstellungen ganz schnell in Widersprüchen verstricken kann.

[Gast]

ipsec schrieb:

DerBaer schrieb:

Nochwas:
folgender Satz ist sicherlich wahr:

"Dieser Satz enthält 30 Zeichen"
oder noch besser:
"Das ist ein Satz"

Aber was passiert wenn ich ihn negiere? Bzw. wie muss ich ihn negieren, damit er nicht mehr wahr ist?

Die Negierung der 2. Aussage ist ja trivil: Es is kein Satz --> offensichtlich falsch. Beim ersten ist schon richtig, das erstmal scheinbar ein Wiederspruch entsteht, weil "Dieser Satz enthält nicht 30 Zeichen" offenbar auch wahr ist. Allerdings bezieht sich das ja auf einen ganz anderen Satz. Die korrekte Negierung wäre damit IMHO: "Der gepostete Satz enthält keine 30 Zeichen", und das ist falsch.

Das Problem ist Selbstbezug in solchen Aussagen. Such mal (mit google) nach "Lügner-Paradoxon".

Christoph schrieb:

Was passieren kann, wenn man versucht auf nicht formalisierten Grundlagen Mathematik zu betreiben, sieht man schön an Russells Paradoxon. Fazit ist, dass man sich mit naiven Vorstellungen ganz schnell in Widersprüchen verstricken kann.

Das Problem entstand doch auch nur wegen möglicher Selbstbezüglichkeit. Russell versuchte die Mengenlehre damit zu reparieren, daß er eine Hierarchie der Elemente erdachte, damit "Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten", nicht mehr möglich ist. Davon wollte aber niemand was wissen. Die axiomatische Megenlehre geht andere Wege, um Widersprüche zu vermeiden.

Obwohl sich sicherlich ganze Legionen von Philosophen und Mathematikern jahrelang die Hirne zermartern, um Widersprüchlichkeiten ihrer Systeme auszumerzen - manchmal kommen mir die Lösungen doch ziemlich willkürlich vor.

[Christoph]

Z schrieb:

Das Problem entstand doch auch nur wegen möglicher Selbstbezüglichkeit.

Erwähnenswert ist auch, finde ich, dass der gödelsche Unvollständigkeitssatz ganz essentiell Selbstbezüglichkeit ausnutzt.

[ipsec]

Christoph schrieb:

ipsec schrieb:

Außerdem (meine ich, es mag naiv klingen) ist es doch eigentlich egal, was genau formal eine Aussage ist, nur unter der Voraussetzung, dass eine Aussage entweder wahr, falsch oder unentscheidbar sein kann und man aus jeder wahren Aussage eine falsche machen kann und andersrum. Das dürfte bei jeder Definition von Aussage erfüllt sein, oder irre ich? Dies angenommen, müsste es dann m.E. gleich viele wahre und falsche Aussagen geben.

Was passieren kann, wenn man versucht auf nicht formalisierten Grundlagen Mathematik zu betreiben, sieht man schön an Russells Paradoxon. Fazit ist, dass man sich mit naiven Vorstellungen ganz schnell in Widersprüchen verstricken kann.

Und wenn man formal eine Aussage definiert, als ein Objekt X, für das gilt: wahr(X) xor falsch(x) xor unentscheidbar(x)
sowie
Zu jeder Aussage X gibt es eine Aussage Nicht-X, wobei gilt:
wahr(X) <==> falsch(Nicht-X)
unentscheidbar(X) <==> unentscheidbar(Nicht-X)

Das dürfte sich doch auch mit allen bekannten Aussagedefinitionen decken, oder gehe ich hier die Sache zu leicht an?

Z schrieb:

ipsec schrieb:

DerBaer schrieb:

Nochwas:
folgender Satz ist sicherlich wahr:

"Dieser Satz enthält 30 Zeichen"
oder noch besser:
"Das ist ein Satz"

Aber was passiert wenn ich ihn negiere? Bzw. wie muss ich ihn negieren, damit er nicht mehr wahr ist?

Die Negierung der 2. Aussage ist ja trivil: Es is kein Satz --> offensichtlich falsch. Beim ersten ist schon richtig, das erstmal scheinbar ein Wiederspruch entsteht, weil "Dieser Satz enthält nicht 30 Zeichen" offenbar auch wahr ist. Allerdings bezieht sich das ja auf einen ganz anderen Satz. Die korrekte Negierung wäre damit IMHO: "Der gepostete Satz enthält keine 30 Zeichen", und das ist falsch.

Das Problem ist Selbstbezug in solchen Aussagen. Such mal (mit google) nach "Lügner-Paradoxon".

Ich sehe hier eigentlich keinen Selbsbezug. Die Aussage "Dieser Satz enthält 30 Zeichen" ist für mich equivalent zu "Der Satz 'Dieser Satz enthält 30 Zeichen' enthält 30 Zeichen", die Negierung wäre also "Der Satz 'Dieser Satz enthält 30 Zeichen' enthält nicht 30 Zeichen".

Und Aussagen wie "Dieser Satz ist falsch" bzw. "Der Satz 'Dieser Satz ist falsch' ist falsch" sind unentscheidbar (er kann weder wahr noch falsch sein, beides führt zu Widersprüchen, also bleibt nur unentscheidbar übrig). Die Negierung "Der Satz 'Dieser Satz ist falsch' ist nicht falsch" ist auch unentscheidbar.

Aber wie ichs auch drehe und wende, ich komme immer auf gleich viele wahre und falsche Aussagen.

[Christoph]

ipsec schrieb:

Christoph schrieb:

ipsec schrieb:

Außerdem (meine ich, es mag naiv klingen) ist es doch eigentlich egal, was genau formal eine Aussage ist, nur unter der Voraussetzung, dass eine Aussage entweder wahr, falsch oder unentscheidbar sein kann und man aus jeder wahren Aussage eine falsche machen kann und andersrum. Das dürfte bei jeder Definition von Aussage erfüllt sein, oder irre ich? Dies angenommen, müsste es dann m.E. gleich viele wahre und falsche Aussagen geben.

Was passieren kann, wenn man versucht auf nicht formalisierten Grundlagen Mathematik zu betreiben, sieht man schön an Russells Paradoxon. Fazit ist, dass man sich mit naiven Vorstellungen ganz schnell in Widersprüchen verstricken kann.

Und wenn man formal eine Aussage definiert, als ein Objekt X, für das gilt: wahr(X) xor falsch(x) xor unentscheidbar(x)
sowie
Zu jeder Aussage X gibt es eine Aussage Nicht-X, wobei gilt:
wahr(X) <==> falsch(Nicht-X)
unentscheidbar(X) <==> unentscheidbar(Nicht-X)

Das dürfte sich doch auch mit allen bekannten Aussagedefinitionen decken, oder gehe ich hier die Sache zu leicht an?

Ok, das ist eine gültige Definition. Jetzt nehme ich als Objekte mal die reellen Zahlen und definiere:
wahr(x) = (x > 0)
falsch(x) = (x < 0)
unentscheidbar(x) = (x == 0)
nicht(x) = -x

Das erfüllt alle Eigenschaften, die du forderst, oder anders gesagt: Reelle Zahlen + die oben genannten Definition sind ein Modell für deine "Aussagen".
Trotzdem würde ich eine relle Zahl wie "42" nicht so gerne als Aussage ansehen. Es wär schöner, wenn "Aussagen" auch wirklich eine Aussage machen würden über irgendetwas.

[ipsec]

Christoph schrieb:

ipsec schrieb:

Christoph schrieb:

ipsec schrieb:

Außerdem (meine ich, es mag naiv klingen) ist es doch eigentlich egal, was genau formal eine Aussage ist, nur unter der Voraussetzung, dass eine Aussage entweder wahr, falsch oder unentscheidbar sein kann und man aus jeder wahren Aussage eine falsche machen kann und andersrum. Das dürfte bei jeder Definition von Aussage erfüllt sein, oder irre ich? Dies angenommen, müsste es dann m.E. gleich viele wahre und falsche Aussagen geben.

Was passieren kann, wenn man versucht auf nicht formalisierten Grundlagen Mathematik zu betreiben, sieht man schön an Russells Paradoxon. Fazit ist, dass man sich mit naiven Vorstellungen ganz schnell in Widersprüchen verstricken kann.

Und wenn man formal eine Aussage definiert, als ein Objekt X, für das gilt: wahr(X) xor falsch(x) xor unentscheidbar(x)
sowie
Zu jeder Aussage X gibt es eine Aussage Nicht-X, wobei gilt:
wahr(X) <==> falsch(Nicht-X)
unentscheidbar(X) <==> unentscheidbar(Nicht-X)

Das dürfte sich doch auch mit allen bekannten Aussagedefinitionen decken, oder gehe ich hier die Sache zu leicht an?

Ok, das ist eine gültige Definition. Jetzt nehme ich als Objekte mal die reellen Zahlen und definiere:
wahr(x) = (x > 0)
falsch(x) = (x < 0)
unentscheidbar(x) = (x == 0)
nicht(x) = -x

Das erfüllt alle Eigenschaften, die du forderst, oder anders gesagt: Reelle Zahlen + die oben genannten Definition sind ein Modell für deine "Aussagen".
Trotzdem würde ich eine relle Zahl wie "42" nicht so gerne als Aussage ansehen. Es wär schöner, wenn "Aussagen" auch wirklich eine Aussage machen würden über irgendetwas.

Gut, das stimmt auch wieder. Also ist die Sache wohl doch nicht so einfach...

[Gast]

ipsec schrieb:

Ich sehe hier eigentlich keinen Selbsbezug. Die Aussage "Dieser Satz enthält 30 Zeichen" ist für mich equivalent zu "Der Satz 'Dieser Satz enthält 30 Zeichen' enthält 30 Zeichen"...

"Der Satz 'Dieser Satz enthält 30 Zeichen' enthält 30 Zeichen" == satz_enthält_30_zeichen(x) ergibt "wahr" für alle Sätze (x) mit 30 Zeichen, unabhängig von Bedeutung, Sprache, usw. Während "Dieser Satz enthält 30 Zeichen" ausschließlich sich selbst meint. Und jede leichte Änderung läßt aus dem Wahr ein Falsch werden, entweder er hat dann keine 30 Zeichen, seine Bedeutung ändert sich, oder er ist kein gültiger Satz mehr.

Ich würde doch sagen, daß es schon einen kleinen Unterschied macht.

[ipsec]

Z schrieb:

ipsec schrieb:

Ich sehe hier eigentlich keinen Selbsbezug. Die Aussage "Dieser Satz enthält 30 Zeichen" ist für mich equivalent zu "Der Satz 'Dieser Satz enthält 30 Zeichen' enthält 30 Zeichen"...

"Der Satz 'Dieser Satz enthält 30 Zeichen' enthält 30 Zeichen" == satz_enthält_30_zeichen(x) ergibt "wahr" für alle Sätze (x) mit 30 Zeichen, unabhängig von Bedeutung, Sprache, usw. Während "Dieser Satz enthält 30 Zeichen" ausschließlich sich selbst meint. Und jede leichte Änderung läßt aus dem Wahr ein Falsch werden, entweder er hat dann keine 30 Zeichen, seine Bedeutung ändert sich, oder er ist kein gültiger Satz mehr.

Ich würde doch sagen, daß es schon einen kleinen Unterschied macht.

Ich meinte eher "Der Satz 'Dieser Satz enthält 30 Zeichen' enthält 30 Zeichen" == satz_enthält_30_zeichen("Dieser Satz enthält 30 Zeichen")

Die Aussage "Der Satz 'abc def ghi jkl mno pqr stu vw' enthält 30 Zeichen" ist ja wieder eine ganz andere, obgleich auch wahr.

Und es ist sicher Haarspalterei, aber man könnte auch sagen, der Satz "Dieser Satz enthält 30 Zeichen" meint den Satz "Dieser Satz enthält 30 Zeichen", die Reflexion "dieser" in der deutschen Sprache ist ja nur ein relativer Verweis.
Beispiel: Frau Merkel sagt: "Ich bin Bundeskanzlerin von Deutschland". Diese Aussage ist richtig. Deswegen kann sie doch nicht falsch werden, wenn sie von einem anderen gesagt wird. Der Fehler, der aber eventuell gemacht wird, ist aber, dass andere Personen nicht in der Lage sind, in der Aussage "ich" zu verwenden, das ein relatives Bezugswort ist, welches sich in der originalen Aussage auf Merkel bezieht. Wenn also Tante Emma sagt "Ich bin Bundeskanzlerin von Deutschland", ist das eine andere Aussage. Die korrekte Variante wäre "Angela Merkel ist Bundeskanzlerin von Deutschland" und diese ist mit der ursprünglichen Aussage von Angela Merken äquivalent.