Dreeick aus zwei Seiten und einem Winkel berechnen

Hi,

ich möchte ein Dreieck berechnen von dem ich zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kenne.
Wenn man die üblichen Bezeichnugen nimmt (alpha ist der Winkel gegenüber der Seite a usw...) dann habe ich folgende Angaben:
Länge der Seite a
Länge der Seite b
Winkel gamma (zwischen a und b).

Interessiert bin ich am Winkel alpha.

Mein Ansatz bis jetzt: Fehlende Seite über Kosinussatz ausrechnen:
c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(gamma)
und dann über sinussatz
sin(alpha)/a = sin(gamma)/c

Also insgesamt
alpha = asin(a*sin(gamma)/sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(gamma)))

Geht das auch einfacher?
Das Problem ist, dass a sehr klein gegen b ist, etwa drei Größenordnungen. Dementsprechend ist alpha ziemlich futzelig klein.

Daher meine Frage ob es einen direkteren Weg gibt, bei dem sich weniger Rundungsfehler einschleichen können.

Thx!

Bashar

Was hältst du von $$\alpha=\arctan\frac{a\sin\gamma}{b-a\cos\gamma}$$?

Hey, vielen Dank. Das sieht doch sehr gescheit aus. Du hast also ne Höhe im Dreieck gefällt, es dadurch in zwei rechtwinkelige zerlegt und dadurch konntest du den tangens anwenden. Cool.

Jetzt habe ich ne weitere geometrische Fragen. Wenn ich eine Tangente an einen Kreis anlege, wie kriege ich dann raus wieviel sie auf der Projektion des Kreises auf der x-Achse abschneidet. Ist scheiße zu erklären, wie kann man hier ne Skizze posten?

So mein ich das:
http://www.abload.de/img/tangentezxg1.gif

Bashar

Ach die Koordinatenachse ist auch eine Tangente?

Dann zieh doch mal die Winkelhalbierende von alpha runter, denn bekommst du ein rechtwinklinges Dreieck, bei dem alle Winkel bekannt sind und eine Seite r ist. Die unbekannte Seite kriegst du dann nach Adam Riese mit $$r\tan\frac{\alpha}{2}$$

Bashar

BTW so rein experimentell bin ich mir nicht sicher, ob meine Formel oben wirklich besser ist als deine. Ich hab mal mit gamma=60°, b=100 und a irgendwas im Bereich 10^-3 bis 10^-1 gerechnet, die Unterschiede zwischen beiden Formeln sind wirklich minimal.
Dabei würde man ja intuitiv vermuten, dass deine Formel numerisch eher instabil ist. Aber ich habs natürlich nicht durchgerechnet.

SeppJ

Bashar schrieb:

BTW so rein experimentell bin ich mir nicht sicher, ob meine Formel oben wirklich besser ist als deine. Ich hab mal mit gamma=60°, b=100 und a irgendwas im Bereich 10^-3 bis 10^-1 gerechnet, die Unterschiede zwischen beiden Formeln sind wirklich minimal.
Dabei würde man ja intuitiv vermuten, dass deine Formel numerisch eher instabil ist. Aber ich habs natürlich nicht durchgerechnet.

Das Teilen durch eine Differenz von (potentiell ungefähr gleichgroßen) Subtrahenden könnte eine Schwäche darstellen, dies tritt jedoch in beiden Formeln auf. Wir wissen aber, dass die Subtrahenden sehr unterschiedlich groß sind, daher ist das kein Problem.

Die Tatsache, dass sich die beiden Formeln vom Ergebnis her kaum unterscheiden, wird wohl darauf beruhen, dass drei Größenordnungen Unterschied numerisch überhaupt kein ernstes Problem darstellen. Wenn es mehr als 12 Größenordnungen Unterschied wären, bekäme man so langsam Ungenauigkeiten im Promillebereich. Doppelte Genauigkeit ist nun einmal für alle praktischen Probleme ziemlich ausreichend.

Bashar schrieb:

Ach die Koordinatenachse ist auch eine Tangente?

Dann zieh doch mal die Winkelhalbierende von alpha runter, denn bekommst du ein rechtwinklinges Dreieck, bei dem alle Winkel bekannt sind und eine Seite r ist. Die unbekannte Seite kriegst du dann nach Adam Riese mit $$r\tan\frac{\alpha}{2}$$

Ähh, woher weiß ich dass die Winkelhalbierende von Alpha in den Schnittpunkt von der Tangenten mit der x-Achse trifft?? Sieht intuitiv zwar gut aus, aber was ist der Beweis?

Ansonsten klingt das nach einem echt guten Plan!

Bashar

Zieh eine Gerade vom Mittelpunkt zum Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse, dann bekommst du da zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke.

PhilippM

Hey,

an den Geomterie-thread hänge ich mich doch gleich mal dran, ich habe nämlich auch ein Tangentenproblem.

Und zwar möchte ich ein Dreieck berechnen, dass ich anhand eines Winkels, einer Seite und einer Tangente kenne.
Man stelle sich folgende Situation vor:
http://img338.imageshack.us/img338/8218/testhu.png
Die Längen L, s und der Radius r sind bekannt, ebenso der Winkel $\alpha$ .

Geometrisch konstruiert man die Tangente ja, indem man die Strecke zwischen Kreismittelpunkt und Zielpunkt halbiert, einen Kreis um diesen Mittelpunkt mit Radius genau halber Länge schlägt, und wo die beiden Kreise sich schneiden, berührt die Tangente. Das habe ich gestrichelt angedeutet.

Das könnte ich sicher alles auf analytische Geometrie runterbrechen und Schnittpunkte von Kreisgleichungen mithilfe von linearen Gleichungssystemen berechnen.

Frage: Gibts einen geometrischen direkteren Weg, die fehlende Seite auszudrücken und $\rho$ zu berechnen, nur über die bekannten Größen ohne Gleichungssysteme lösen zu müssen?

Gruß,
Phil