Lineare Abhängigkeit zeigen...
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Hallo,
mir ist nicht klar, warum gilt, wenn:
[x,a]=[x,b]=[x,c] und [y,a]=[y,b]=[y,c]dann sind x und y l.a.
Wie würde man das matematisch deutlich machen bzw - welcher Zwischenschritt könnte das deutlich machen?!
Vielen dank im voraus
ich hoffe es kann mir jemand helfen...
Karina
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Zuwenig Informationen.
ist [,] ein Skalarprodukt?
was sind a,b,c?
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Ne, [x,y]:=<x^ortoho,y>
und a,b,c sind aus IR!Tut mir leid, dachte das wäre klar!
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Und was ist wiederum <x^orthoho,y>?
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Das sollte bedeuten: Ein Skalarprukukt des ortogononalen Vektors zu x mit y...
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"des" orthogonalen Vektors? Der ist doch nicht eindeutig bestimmt.
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hier schon und zwar so
x=(x_1,x_2)
und
x^ortho=(-x_2,x_1)Fehlt dann noch was oder kann man das jetzt zeigen?
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Karina schrieb:
hier schon und zwar so
x=(x_1,x_2)
und
x^ortho=(-x_2,x_1)Fehlt dann noch was oder kann man das jetzt zeigen?
Ah. Jetzt würde ich die Ausgangsgleichungen mit x_1 x_1 a_1 a_2 usw hinschreiben. Dann läßt sich bestimmt ausrechnen, daß x und y l.a. sind.
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Die sind nicht linear abhängig würde ich mal behaupten:
Beispiel:
Wähle a=b=c=x und wähle y orthogonal zu x.
Dann sind alle deine Gleichungen erfüllt.Ich hab übrigens mal angenommen das a,b,c eben nicht aus R sondern aus R² sind.
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Aber sie wären es, wenn a, b und c ungleich sind, oder!?
Und wie würde ich dann dann zeigen, dass ist mir irgendwie noch nicht klar...
Aber danke schonmal - ihr gebt euch ja richtig Mühe!
Entschuldigt die ungenauigkeiten und klar sind a,b,c aus R^2!
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Wie Volkard bereits sagte schreibe dir die Gleichungen dann mal in Komponenten hin. Dann hast du 2* 3 Gleichungen. Versuche dann einen Zusammenhang zwischen x und y herzustellen.
Ich hab mir das gerade mal aufgemalt, ich glaube es reicht wenn du dich auf die Gleichungen mit a und b konzentrierst, einen 3. Vektor braucht man nichtmal. Dann musst du auf jeden Fall noch fordern dass a und b l.u. sind.
Probier das einfach mal...
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Hatte das jetzt schon ausprobiert, aber ich komme ja nur auf solche Terme:
x_1(a_2-b_2)+x_2(-a_1+b_1)=0
und
y_1(a_2-b_2)+y_2(-a_1+b_1)=0Aber ich schaffe es nicht x und y irgendwei in einen sinvollen zusammenhang zu bringen - umstellen broingt hier leider nicht so tolle sachen...
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x_1 = k * y_1 darfst Du behaupten.
Dann muß am Ende von Zauberhand x_2 = k * y_2
rauskommen.
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Karina schrieb:
Hatte das jetzt schon ausprobiert, aber ich komme ja nur auf solche Terme:
x_1(a_2-b_2)+x_2(-a_1+b_1)=0
und
y_1(a_2-b_2)+y_2(-a_1+b_1)=0Aber ich schaffe es nicht x und y irgendwei in einen sinvollen zusammenhang zu bringen - umstellen broingt hier leider nicht so tolle sachen...
Ähm da isser doch schon.
x_1(a_2-b_2)+x_2(-a_1+b_1)=0
und
y_1(a_2-b_2)+y_2(-a_1+b_1)=0also
x_1(a_2-b_2) = x_2(-a_1+b_1)
und
y_1(a_2-b_2) = y_2(-a_1+b_1)also
(a_2-b_2) = x_2(-a_1+b_1)/x_1
und
(a_2-b_2) = y_2(-a_1+b_1)/y_1also
x_2(-a_1+b_1)/x_1 = y_2(-a_1+b_1)/y_1
also
x_2/x_1 = y_2/y_1
(und das ist l.a. hoffe ich)
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Ok...gut nachvollziehen kann ich das so, aber kann man die l.a. nicht auch zeigen, ohne das alles in die einzelnen Komponenten zu zerlegen!?
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Zeichne dir mal einen beliebigen x Vektor auf, dann zeichne 2 l.u. Vektoren a und b die das gleiche Skalarprodukt haben mit x (oder bei dir x_ortho). Und dann versuche schlussendlich einen Vektor y (oder bei dir y_ortho) so einzuzeichnen das auch er das gleiche Skalarprodukt besitzt mit a und b. Du wirst sofort sehen das x und y dann linear abhängig sind.
Wenn du die Winkel noch benennst und ein paar Worte zu der Skizze schreibst ist das IMHO bereits ein sehr schöner Beweis.
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nagut - danke(obwohl ich immernoch gerne einen Umformungsbeweis gehabt hätte ohne die Komponentenschrbw., aber gut...)
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Um lineare Abhängigkeit zu zeigen reicht es ja den Faktor zu finden, der den einen Vektor zum anderen macht. Also das lösen von:
Oder verstehe ich dein Problem falsch?
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drakon schrieb:
Oder verstehe ich dein Problem falsch?
Ja. In diesem Fall gilt es zu zeigen, dass es so ein a geben muss. Nicht welchen Wert es hat. Und ich halte es für verdammt schwierig, das Problem auf diese Gleichung zurückzuführen.