4. QR-Zerlegung

QR-Zerlegung

  • ?

    Sieht leider so aus als würde ich die QR-Zerlegung nicht schaffen.
    Ich werd euch mal die AUfgabe und meine Rechnungen präsentieren und ihr sagt mir wo ich falsch liege, wieso und wies richtig geht 🙂 ok?

    QR-Zerlegung von

1  2  1
2  5  2
1  2 10

gesucht.

Erstellung einer Householdermatrix:

U = I - 2ww^t

w = (a_1 - g(1,0,0)^t) / (Euklidische Norm von Zähler)

g = sqrt( summe i = 1 bis 3 (a_i1^2) )

I = Einheitsmatrix

Also Starte ich mal :

g = sqrt( 1 +4 +1) = sqrt(6)

w = (1 - sqrt(6) ,2,1)^t / sqrt(5+(-1+sqrt(6))^2)

w = Vector(3, {(1) = (1-sqrt(6))/sqrt(5+(-1+sqrt(6))^2), (2) = 2/sqrt(5+(-1+sqrt(6))^2), (3) = 1/sqrt(5+(-1+sqrt(6))^2)}) (maple-output)

U = Matrix(3, 3, {(1, 1) = -(-1+sqrt(6))/(-6+sqrt(6)), (1, 2) = -(-2+2*sqrt(6))/(-6+sqrt(6)), (1, 3) = -(-1+sqrt(6))/(-6+sqrt(6)), (2, 1) = -(-2+2*sqrt(6))/(-6+sqrt(6)), (2, 2) = (-2+sqrt(6))/(-6+sqrt(6)), (2, 3) = 2/(-6+sqrt(6)), (3, 1) = -(-1+sqrt(6))/(-6+sqrt(6)), (3, 2) = 2/(-6+sqrt(6)), (3, 3) = (-5+sqrt(6))/(-6+sqrt(6))})

R = UA ->

UA = Matrix(3, 3, {(1, 1) = -(-6+6*sqrt(6))/(-6+sqrt(6)), (1, 2) = -(-14+14*sqrt(6))/(-6+sqrt(6)), (1, 3) = -(-15+15*sqrt(6))/(-6+sqrt(6)), (2, 1) = 0, (2, 2) = (-2+sqrt(6))/(-6+sqrt(6)), (2, 3) = 18/(-6+sqrt(6)), (3, 1) = 0, (3, 2) = 2/(-6+sqrt(6)), (3, 3) = (-45+9*sqrt(6))/(-6+sqrt(6))})

Was aber keine Dreiecksmatrix ist ...

Für die die das nicht lesen können: die resultierende Form ist

R = 
* * *
0 * *
0 * *

    Was ist an meinem Vorgehen falsch?

    0
  • ?

    Du musst das Verfahren jetzt mit dem unteren rechten 2x2 Block der Matrix wiederholen. Bei einer n x n-Matrix brauchst du i.A. (n-1) Householder-Transformationen.

    0
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