Matrixdarstellung einer linearen Funktion
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Hallo, ich brüte über der folgenden Aufgabe:
Die Abbildung f:V->W zwischen dem n-dimensionalen Vektorraum V und dem m-dimensionalen Vektorraum W sei linear. Sei A eine m x n Matrix, die eine Matrixdarstellung von f bezüglich der Basen von V und W ist.
Beweisen Sie: Genau dann ist f surjektiv, wenn Rg(A) = m ist.
Tipp: Benutzen sie bereits bewiesene Folgerungen aus dem Rangsatz.Mein Ansatz:
f ist surjektiv, also ist Bild(f) = W. Jedes w in W ist ein Element des Bildes von f, also eine Linearkombination der abgebildeten Basisvektoren aus V. Die Spalten von A sind die Koordinatenvektoren der abgebildeten Basisvektoren; da jedes w ein Element des Bildes von f ist, muss die Anzahl der Zeilen von A gleich der Dimension von W sein, also Rg(A) = m.So in etwa ok?
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Nein, nicht okay. Du argumentierst anhand der Zeilen/Spaltenzahl. Aber darum geht es hier nicht. Der Rang einer Matrix ist immer kleiner oder gleich m. Das ist einfach daran zu sehen, dass wenn A eine Nullmatrix ist, f nicht surjektiv ist - alle Vektoren werden auf 0 abgebildet (Die MAtrix hat also Rang 0 und Kern m).
Du musst also zeigen, dass der Nullraum der Matrix nicht größer als n-m sein darf. Zugleich musst du aber auch zeigen, dass der Nullraum nicht kleiner als m-n sein kann, aber das ist trivial, da die Matrix nur m Spalten hat und das eine obere Grenze darstellt.
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m ist hier die Anzahl der Zeilen, nicht die Anzahl der Spalten.
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ja, sorry verschrieben. Meinte ich ja.
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otze schrieb:
Nein, nicht okay. Du argumentierst anhand der Zeilen/Spaltenzahl. Aber darum geht es hier nicht. Der Rang einer Matrix ist immer kleiner oder gleich m.
Ja, das war wohl etwas unglücklich.
Oki doki, danke für die Antwort.
