Supremumsprinzip
-
Ist das Supremumsprinzip ohne den Dedekindschen Schnitt beweisbar?
Ich suche schon ne Weile, ohne Erfolg.
-
mathematikpraktikant schrieb:
Ist das Supremumsprinzip ohne den Dedekindschen Schnitt beweisbar?
Ich suche schon ne Weile, ohne Erfolg.Es würde helfen, wenn du sagst was damit gemeint ist. Der Top Googletreffer für Supremumsprinzip ist nämlich diese Seite und die anderen Treffer sind nicht hilfreich. Ich vermute mal, dass du irgendeine ungewöhliche Nomenklatur benutzt.
-
Ok, hat sich erledigt. Ich habe ein Skript gefunden, wo das Supremumsprinzip ohne den Dedekindschen Schnitt erklärt, bzw. bewiesen wird.
http://www.math.uni-frankfurt.de/~habash/elmath2_07/elmath2_07.pdf
-
Bei solchen Grundlagenfragen muss man wissen, auf welchem Fundament man steht. Bei uns wurden die reellen Zahlen beispielsweise axiomatisch eingeführt, das Supremumsprinzip war ein Axiom.
In dem Script, was du da gefunden hast, wird eine Definition zugrunde gelegt, die von einer intuitiven Vorstellung des Kontinuums ausgeht und jeden Punkt mit einem unendlichen Dezimalbruch identifiziert. Soweit war man im 18. Jahrhundert schon. Ich vermute mal, dass das kein Text für Mathematikstudenten ist.
-
man kann das Supremumsprinzip aus dem Intervallschachtelungsaxiom herleiten.
Folge von Intervallen so wählen, daß Untergrenzen monoton steigen + Obergrenzen monoton fallen, wobei die Obergrenzen alles obere Schranken der Menge sein sollen, die Untergrenzen sämtlich NICHT obere Schranken sein sollen, und so, daß die Intervalllänge -> 0.
Der Durchschnitt der Invervallfolge ist nach Axiom nicht-leer und man kann dann zeigen, daß der Inhalt das sup der Menge ist.
