Minimieren einer Funktion

Hey,
ich schreibe gerade an meiner Bachelorarbeit und versuche eine Funktion zu minimieren. Ich hab einiges über Euler-Lagrange gelesen, aber das hilft mir nicht unbedingt weiter.
Das ganze ist eine veränderte Version des Horn-Schunk Fehlerintegrals zur Bestimmung des optischen Flusses.

${}_k I(x,y,t)$ soll die k-te Bildfunktion sein.
$I_x$ soll die partielle Ableitung von I nach x an der Stelle (x,y,t) bezeichnen,
$\vec u = (u,v)^T$ ist der Verschiebungsvektor an der aktuell betrachteten Stelle (x,y,t).

Minimieren möchte ich jetzt

E = \iint \sum\_k \left( {}\_k I\_x u + {}\_k I\_y v + {}\_k I_t \right)^2 \+ \alpha^2 \left( u\_x^2 + u\_y^2 + v\_x^2 + v\_y^2 \right) \;\mathrm dx \;\mathrm dy

so dass ich für jedes x,y ein u,v bestimmen kann, damit dieser Fehler minimal wird.
Kann mir dabei vllt jemand helfen?
Gruß, Olli

Nochmal mit Formeln :

{}_k I(x,y,t)$$ soll die k-te Bildfunktion sein. $$I_x$$ soll die partielle Ableitung von I nach x an der Stelle (x,y,t) bezeichnen, $$\vec u = (u,v)^T$$ ist der Verschiebungsvektor an der aktuell betrachteten Stelle (x,y,t). Minimieren möchte ich jetzt $$

E = \iint \sum_k \left( {}_k I_x u + {}_k I_y v + {}_k I_t \right)^2
+ \alpha^2 \left( u_x^2 + u_y^2 + v_x^2 + v_y^2 \right) ;\mathrm dx ;\mathrm dy

onlyolli schrieb:

so dass ich für jedes x,y ein u,v bestimmen kann, damit dieser Fehler minimal wird.

Ich verstehe deine Funktion noch nicht recht.

Über welchen Bereich / welche Grenzen integrierst? Es schaut doch so aus, als würdest du x und y "wegintegrieren". Wie hängen u und v von x und y ab bzw. was sind die Ableitungen u_x, u_y, v_x, v_y?
Gibt es irgendwelche Nebenbedingungen für u und v? Kann man t als kontstant betrechten?

Über alle x und y integriere ich und t ist konstant, das ist richtig. x und y sind eigentlich Werte aus $$\mathbb N$$, die die Bildpunkte in der Bildfunktion I bezeichnen. u_x und u_y sind die partiellen Ableitungen von u(x,y,t) nach x und y und bezeichnen zusammen das Verschiebungsvektorenfeld auf I. t ist konstant, ja.

onlyolli schrieb:

so dass ich für jedes x,y ein u,v bestimmen kann, damit dieser Fehler minimal wird.

Über alle x und y integriere ich

Das passt nicht so recht zusammen.

_x und u_y sind die partiellen Ableitungen von u(x,y,t) nach x und y und bezeichnen zusammen das Verschiebungsvektorenfeld auf I.

D.h. du suchst zwei Funktionen u(x,y) und v(x,y), so dass E(u,v) minimal wird. u, v sind also keine normalen Variablen?

Mups schrieb:

onlyolli schrieb:

so dass ich für jedes x,y ein u,v bestimmen kann, damit dieser Fehler minimal wird.

Über alle x und y integriere ich

Das passt nicht so recht zusammen.

Ich finde schon ;)... Ich hab ein Bild I welches von 0-x und 0-y geht, und dann möchte ich dass die Fehlerfunktion minimal wird, indem ich für jedes x, y ein u, v finde, welches das ganze dann minimal macht. u, v hängen somit also von x, y ab, das stimmt, ja.

onlyolli schrieb:

Ich finde schon ;)... Ich hab ein Bild I welches von 0-x und 0-y geht, und dann möchte ich dass die Fehlerfunktion minimal wird, indem ich für jedes x, y ein u, v finde, welches das ganze dann minimal macht. u, v hängen somit also von x, y ab, das stimmt, ja.

Langsam verstehe ich dein Problem... auch wenn ich es anders formulieren würde. Dein E ist ein Funktional von u und v, welches du minimieren möchtest, wenn wir mal so tuen als seien x und y kontinuierlich.

Aber weiter oben hast du geschrieben, x und y seien diskret. Was ist dann eine Ableitung nach x bzw. y?

Ausserdem: Gibt es irgendwelche Nebenbedinungen, die u und v erfüllen müssen?

[Wie man dir richtig helfen kann, sehe ich noch nicht. Vielleicht verstehe ich dein Problem noch nicht richtig. Aber Funktional und Optimierung sind schonmal gute Suchworte.]

Hey... Jepp, nach Funktional und Optimierung hab ich schon geschaut... Ich hab inzwischen Hilfe zu Euler-Lagrange-Formeln bekommen und die Lösung gefunden-. Einmal als LaTeX-Code..., richtig anzeigen tut er das hier leider nicht.

\renewcommand{\d}{\;\mathrm{d}}
\newcommand{\pderive}[2]{\frac{\partial #1}{\partial#2}}

\begin{align}
    \epsilon_m^2 &= \sum_k \left({}_k I_x u + {}_k I_y v + {}_k I_t\right) \\
    \epsilon_c^2 &= K\alpha^2 \left( u_x^2 + u_y^2 + v_x^2 + v_z^2 \right)
\end{align}

Die Fehlerfunktion dann
\begin{align}
    E(u,v) &= \iint \epsilon_m^2 + \epsilon_c^2 \; \d x \d y \\
        &= \iint \sum_k \left({}_k I_x u + {}_k I_y v + {}_k I_t\right)^2
            + K\alpha^2 \left( u_x^2 + u_y^2 + v_x^2 + v_z^2 \right) \; \d x \d y
\end{align}

Das zu minimierende Funktional nach Euler ist nun
\begin{align}
    \mathcal L(x, y, u, v, u_x, u_y, v_x, v_y) &= \epsilon_m^2 + \epsilon_c^2
\end{align}

Die Lösung also
\begin{align}
    \pderive Lu - \frac{d}{\d u} \pderive L{u_x} - \frac{d}{\d u} \pderive L{u_y} &= 0\\
    \pderive Lv - \frac{d}{\d v} \pderive L{v_x} - \frac{d}{\d v} \pderive L{v_y} &= 0
\end{align}

Berechnen der partiellen Ableitungen ergibt dann
\begin{align}
    \pderive Lu - \frac{d}{\d u} 2K\alpha^2 u_x - \frac{d}{\d u} 2K\alpha^2 u_y &= 0\\
    \pderive Lv - \frac{d}{\d v} 2K\alpha^2 v_x - \frac{d}{\d v} 2K\alpha^2 v_y &= 0
\end{align}

Weiter ableiten führt zu
\begin{align}
    \sum_k {}_k 2 I_x \left({}_k I_x u + {}_k I_y v + {}_k I_t\right)
        - 2K\alpha^2 u_{xx} - 2K\alpha^2 u_{yy} &= 0\\
    %
    \sum_k {}_k 2 I_y\left({}_k I_x u + {}_k I_y v + {}_k I_t\right)
        - 2K\alpha^2 v_{xx} - 2K\alpha^2 v_{yy} &= 0
\end{align}