Taylor-Entwicklung zu f(x)/g(x)
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Hallo,
Ich möchte einen Quotienten f(x)/g(x) als Taylorpolynom darstellen, wobei die Taylorreihen von f und g schon bekannt (oder leicht zu entwickeln) sind.
Z.B. soll h(x) = tan x = sin x / cos x als Taylorpolynom 4. Stufe dargestellt werden. Wie komme ich jetzt von dem Quotienten sin/cos auf tan?
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Ich würde mal in f(x)/g(x) die beiden Funktionen durch ihre Taylor-Reihen (sofern diese konvergieren) ersetzen und dann davon ne Taylor-Entwicklung machen... Vllt. kommt was sinnvolles bei raus.
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\tan(x) = \sin(x)/\cos(x) \approx \frac{x - x^3/6}{1 - (x^2/2 - x^4/24)}\\ \approx \left(x-\frac{x^3}{6}\right)\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}\right)^2\right)Den Bruch aufteilen passiert mit der geometrischen Reihe. Die sollte man dann halt ab der 5. Ordnung abbrechen.