Definition einer Parabelgleichung im Raum
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Ich habe einen Startpunkt P1(x,y,z) und einen Endpunkt P2(x,y,z).
Ich möchte dafür eine parametrisierte Parabelgleichung aufstellen, mit dem Parameter t € [0,1] so dass f(t=0) = P1 und f(t=1) = P2 ist.
Mir fehlt dazu ein gescheiter Ansatz, da ich bisher nur im 2D-Raum mit Parabeln zu tun hatte.
Ein Ansatz der mir einfällt wäre die Transformation des Koordinatensystems, so dass eine Ebene verschwindet. Gibt es da schlauere Lösungen?Edit: Um die Freiheitsgrade einzuschränken könnte ich noch einen weiteren Punkt angeben.
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Zwei Punkte im Raum legen eine Parabel nicht fest, das ist dir aber wohl klar. Die Idee mit der Koordinatentransformation klingt aber gut. Da kannst du deine Erfahrung mit 2D Parabeln benutzen und brauchst dann hinterher nur das Ergebnis wieder zurück zu transformieren.
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Mach es wie gewohnt im R^2 und bette es anschließend mit einer injektiven affinen Abbildung in einen höher dimensionalen Raum ein.
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Du kannst auch eine Bezierkurve 2.Grades benutzen. Dazu wählst Du einen Zwischenpunkt Q und die Gleichung für die Kurve ist dann
P(t) = (1-t)^2*P1 + 2*t*(1-t)*Q + t^2*P2
man sieht, dass die Kurve für den Wert t=0 in P1 und für t=1 in P2 liegt.
Q liegt selbst nicht auf der Kurve, 'zieht' sie aber in Richtung auf Q.
Gruß
Werner