Wie kann man Nabla auf (x^T*M*x) anwenden?
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Hallo,
ich möchte folgendes Berechnen:
$ \nabla (\vec x^T \cdot M \cdot \vec x) $Dabei ist M eine Matrix und x einfach der Vektor (x,y,z)
Rauskommen soll natürlich folgendes:
$ 2 \cdot M \cdot \vec x $Wie kann ich das formal berechnen, ohne in die Komponenten gehen zu müssen?
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Geht glaube ich nicht. Es sei denn man schlaegt eine Identitat nach, wo Matrizen einbezogen werden. Die wurde dann aber auch einfach in den Komponenten ausgerechnet.
$[\vec\nabla(\vec x^T M \vec x)]\_i = \partial\_i (x\_j M\_{jk} x\_k) = (\partial\_i x\_j) M\_{jk} x\_k + x\_j M_{jk} (\partial\_i x\_k) = M_{jk}(\delta_{ij}x\_k + \delta\_{ik} x\_j) = M\_{ik}x\_k + M\_{ji}x\_j = [M\vec x + M^T \vec x]\_i$
So schwierig ist es in der Summenschreibweise aber auch nicht:Und dann sieht man dass deine Formel auch nur fuer symmetrische Matrizen stimmt.
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Ja die Matrix ist symmetrisch. Ich denke so wie du es geschrieben hast werde ich es machen, ich wollte nur verhindern das ich die gleiche Rechnung 3 mal hinschreiben muss. Aber so ist es relativ hübsch. Vielen Dank