Unterschied zwischen 2 Formeln und Bedeutung
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Ich beschreibe vlt erstmal das Problem:
Ich habe eine Messreihe, in der ich für eine Größe x 30 Ergebnisse habe.
Ich kenne weder den Fehler der einzelnen Messungen, noch eine Verteilungsfunktion für die Werte.
Sie liegen aber alle sehr nahe beisammen.Ich habe nun Standardabweichung und Mittelwert berechnet. Nun möchte ich etwas angeben wie x = 7+/-0.5. Und um diesen "Fehler" geht es mir jetzt.
Auf der einen Seite habe ich noch irgendwas in Erinnerung dass man da einfach die Standardabweichung hinsetzt (ich glaube das habe ich in Physik gemacht, und dann liegt der wahre Wert mit ca 67% in dem Intervall)
Auf der anderen Seite habe ich hier eine Formel gefunden:x = x_mittel +/- t * s / sqrt(n)
wobei t ein parameter ist, der von der Anzahl der Messungen abhängt und der Genauigkeit die man wünscht. Das ganze ist unter dem Kapitel Vertrauensbereich für Mittelwert µ.
Was ist nun der Unterschied zwischen
x_mittel +/- s
x_mittel +/- t s / sqrt(n)
was verwendet man wann? Und was ich in meinem Fall?
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Du musst dir erstmal klar werden, was dein Experiment mathematisch ist: Jede Messung ist die Ziehung einer Variablen aus einer Zufallsverteilung, zum Beispiel der Normalverteilung mit Mittelwert µ und Standardabweichung s. Das bedeutet, wenn du einmal ziehst, hast du eine Wahrscheinlichkeit von 68% dass der Wert in (m-s, m+s) liegt. Bildchen:
0.5 ++---------+-----------+----------+----------+-----------+---------++ + + + 1/sqrt(2*pi) * exp(-x**2 / 2) ****** + | | | | 0.4 ++ ******* ++ | *********** | | *************** | | ***************** | 0.3 ++ ******************* ++ | *********************** | | ************************* | 0.2 ++ *************************** ++ | ***************************** | | ******************************* | | ************************************* | 0.1 ++ *************************************** ++ | ******************************************* | | ************************************************* | + *********************************************************** + 0 ********************************************************************* -3 -2 -1 0 1 2 3Wenn du dein Experiment jetzt in eine Apparatur einbaut die sich darauf verlässt, dass x in einem bestimmten Bereich liegt, dann muss der Toleranzbereich der Apparatur z.B. 1*s sein, wenn es OK ist dass die Apparatur nur zwei von drei Mal funktioniert. Durch deine 30 Messungen hast du in etwa die Verteilung gemessen, aus der jedes x gezogen wurde.
Was ist jetzt mit dem s/sqrt(n) ?
Angenommen du baust dein Experiment in die obige Apparatur ein, und musst angeben, was der Mittelwert von x ist. Dann kannst du den von dir in 30 Versuchen gemessenen Mittelwert nehmen, aber: wie gut ist dieser Mittelwert? d.h. wie gut stimmt deine geschätzte Verteilung mit der "echten" überein? Selbst wenn du exakt weißt dass die "echte" Verteilung eine Gaussverteilung ist, weicht dein gemessener Mittelwert immer noch vom "echten" Mittelwert ab. Wie weit er abweicht, sagt dir s/sqrt(t).
tl;dr: Ohne Wurzel -> Streuung einer Einzelmessung (punktierte Verteilung), mit Wurzel -> Streuung des Mittelwerts (Rauten).
1.2 ++------+------------+------------+------------+------------+------++ | + + + exp(-x**2 / 2)+ . | | exp(-x**2 * 30/2) ###### | 1 ++ ........... ++ | ...... ##### ...... | | ..... ##### ..... | 0.8 ++ .... ####### .... ++ | ... ######### ... | | .... ######### .... | 0.6 ++ ... ######### ... ++ | .... ########### .... | | .... ########### .... | .. ############# .. 0.4 ++ ############### ++ | ############### | | ################# | 0.2 ++ ################### ++ | ##################### | | + +#########################+ + | 0 ##################################################################### -1 -0.5 0 0.5 1