Komplexe Reihenentwicklung log(z-z0)

Ich habe hier in einem Paper stehen

$log(z-z\_0) = log(z) - \sum\_{k=1}^\infty \frac{1}{k} (\frac{z\_0}{z})^k |z| > |z\_0|$

(alles im komplexen)

Wie zeigt man sowas? Vielleicht hilft es etwas, die Reihe nur auf eine Seite zu stellen, also etwa so

$log(z) - log(z-z\_0) = \sum\_{k=1}^\infty \frac{1}{k} (\frac{z\_0}{z})^k |z| > |z\_0|$

Hat das irgendwas mit Laurent-Reihen zu tun? Aber da sehen doch die Konvergenzbereich anders aus? Funktionentheorie ist schon so gräßlich lange her....

(Noch einmal, weil die Formeln doof aussehen)

Ich habe hier in einem Paper stehen

$\log(z-z\_0) = \log(z) - \sum\_{k=1}^\infty \frac{1}{k} (\frac{z\_0}{z})^k \ \ \ \ \ \ \ \ |z| > |z\_0|$

(alles im komplexen)

Wie zeigt man sowas? Vielleicht hilft es etwas, die Reihe nur auf eine Seite zu stellen, also etwa so

$\log(z) - \log(z-z\_0) = \sum\_{k=1}^\infty \frac{1}{k} (\frac{z\_0}{z})^k \ \ \ \ \ \ \ \ |z| > |z\_0|$

Hat das irgendwas mit Laurent-Reihen zu tun? Aber da sehen doch die Konvergenzbereich anders aus? Funktionentheorie ist schon so gräßlich lange her....

volkard

Jester

volkard schrieb:

Vielleicht fängt es erstmal so an:
log(z-z_0) = log(z) / log(z_0)

Ne, das wär ja schrecklich falsch, weil log(a/b) = log a - log b, aber log(a-b) != log(a)/log(b) = log_b(a).

Vielleicht wurde der log um den Punkte z rum entwickelt und dann diese Formel an der Stelle z_0 ausgewertet?

Jetzt hab ich doch selber gemacht

\frac{1}{z-z\_0} = \frac{1}{z}\frac{1}{1-z\_0/z} = \frac{1}{z} ( 1 + (z\_0/z) + (z\_0/z)^2 + (z\_0/z)^3 + ...) = 1/z + \frac{z\_0}{z^2} + \frac{z\_0^2}{z^3} + \frac{z\_0^3}{z^4} + ...$ (Geometrische Reihe gilt für $$|z_0/z| < 1|

Jetzt beide Seiten integrieren

$\log(z-z\_0) = log(z) + (-1)\frac{z\_0}{z} + (-2)\frac{z\_0^2}{z^2} + (-3)\frac{z\_0^3}{z^3} + ...$

fertig.

Trotzdem danke für die Hilfe.

Jetzt hab ich doch selber gemacht

$\frac{1}{z-z\_0} = \frac{1}{z}\frac{1}{1-z\_0/z} = \frac{1}{z} ( 1 + (z\_0/z) + (z\_0/z)^2 + (z\_0/z)^3 + ...) = 1/z + \frac{z\_0}{z^2} + \frac{z\_0^2}{z^3} + \frac{z\_0^3}{z^4} + ...$

(Geometrische Reihe gilt für $$|z_0/z| < 1$$

Jetzt beide Seiten integrieren

$\log(z-z\_0) = log(z) + (-1)\frac{z\_0}{z} + (-2)\frac{z\_0^2}{z^2} + (-3)\frac{z\_0^3}{z^3} + ...$

fertig.

Trotzdem danke für die Hilfe.