Koordinatensysteme

Ich glaube, eine ähnliche Frage habe ich schon mal gestellt. Diesmal ist mir klarer, was passiert, dafür sind mir die Formeln unklarer.

Koordinatensystem 1: fest an der Welt montiert $$Oxyz$$
Koordinatensystem 2: $$\underline{Oxyz}$$Bewegt sich gegenüber Koordinatensystem 1, und zwar translatorisch $$u$$ und rotatorisch $$\alpha$$

Man kann davon ausgehen, dass die Bewegungen "von kleiner Ordnung" sind.
Dann leuchtet mir noch ein, dass die Umrechnung (in vektorschreibweise)

$x = \underline{x} + \alpha\times\underline{x} + u$ \\ $\underline{x} = x - \alpha\times x - u$

gilt. Auch die Umrechnung der Geschwindigkeit klappt gut, indem man einfach nach der Zeit ableitet

$v = \underline{v} + \alpha\times\underline{v} + \alpha\_t\times\underline{v} + u\_t$ \\ $\underline{v} = x - \alpha\times v - \alpha\_t \times v - u\_t$

Aber wenns differentiel wird, steige ich aus. Warum gilt z.b.

$\nabla_{x} = \nabla_{\underline{x}} + \alpha \times \nabla_{\underline{x}}$ \\ $\nabla_{\underline{x}} = \nabla_{x} - \alpha \times \nabla_{x}$

oder für die Taylor-Entwicklung

$f(x) = f(\underline{x}) + (\alpha \times \underline{x} + u)\nabla_{\underline{x}}f(\underline{x})$ \\ $f(\underline{x}) = f(x) - (\alpha \times x + u)\nabla_{x}f(x)$

??

megaweber

Mups schrieb:

Aber wenns differentiel wird, steige ich aus. Warum gilt z.b.
$\nabla_{x} = \nabla_{\underline{x}} + \alpha \times \nabla_{\underline{x}}$ \\ $\nabla_{\underline{x}} = \nabla_{x} - \alpha \times \nabla_{x}$

Das ist doch eigenlich ähnlich zur Zeitableitung. Wenn du den Gradienten auf die erste Formel anwendest (ich kenne eine leicht andere Notation):

$\nabla x = \nabla \left( \underline x + \alpha \times \underline x + u \right) = \nabla \underline x + \alpha \times \nabla \underline x$

Da alpha und u Konstanten sind.