Random Walk

Hallo,

angenommen ich habe einen Random Walk, d.h.

X_i ~(iid) V, mit einer Verteilung V
A_n = Summe(1 bis n)(X_i)

n_limit := min{n | A_n > K} mit einer Konstanten K

Wie kann ich die Verteilung von n_limit bestimmen, also <n_limit>, var(n_limit) etc. ? Gibt es dazu Literatur?

Sorry, das sollte ins Matheforum

C++ Forumbot

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Michael E.

http://de.wikipedia.org/wiki/Random_Walk

Was meinst du mit <n_limit>? Ich weiß sowieso nicht so recht, was du mit n_limit vorhast, es ist ja nicht mal wohldefiniert.

Michael E. schrieb:

http://de.wikipedia.org/wiki/Random_Walk

Was meinst du mit <n_limit>? Ich weiß sowieso nicht so recht, was du mit n_limit vorhast, es ist ja nicht mal wohldefiniert.

<.> bedeutet Erwartungswert. Wie könnte ich die Definition korrigieren? Mich interresieren nur die Bereiche im Zufallsraum bei denen ein n_limit existiert. Der von dir verlinkte "Random Walk" ist nicht das was ich meine, dort ist ein V explizit angegeben (P(-1) = p, P(1) = 1-p)

SeppJ

Meinst du die first passage time? Dazu gibt es Unmengen Literatur, ist eine wichtige Größe bei Zufallsprozessen.

Falls dir eine (nicht stetige) Näherung ausreicht kannst Du folgendermaßen vorgehen (Simulation):

Du berechnest mittels Pseudo-Zufallszahlengenerator zahlen, welche verteilt sind wie X_i und summierst diese auf. Die realisierten a_i entsprechen dann näherungsweise der Verteilung von A_i. D.h. wenn du die a_i aufsteigend ordnest und den Graf
P(A<=a_i) = [Anzahl aller a_j <= a_i] / [Anzahl der durchgeführten Simulationen bzw. aller möglichen a_i]
hast du eine grafische Darstellung der Verteilungsfunktion.

Da Pseudo-Zufallszahlen allerdings immer gleichverteilt sind, musst du diese erst auf eine andere Verteilung transformieren. Für viele Verteilungen gibt es Algorithmen, die in entsprechenden Literatur, wie z.B. hier:
http://www.amazon.de/Art-Computer-Programming-Fundamental-Seminumerical/dp/0201485419/ref=pd_sim_eb_5
Außerdem wird hierbei angenommen, dass die X_i unabhängig voneinander sind.

Weitere Möglichekeiten findest Du vielleicht hier:
http://www.mia.uni-saarland.de/Teaching/MFI0708/kap71.pdf
(ab Seite 94)

Jover

für den erwartungswert kannst du schauen ob dir die wald'sche gleichung weiterhilft.