Seltsame Abschätzung - Bin ich blind?
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Hallo,
ich habe folgende Funktion gegeben:
G_{k}(x) = \frac{\sin((k+\frac{1}{2})x)}{sin(\frac{1}{2}x)} = 1 + 2 \sum_{j=1}^{k}\cos(jx)$$. Jetzt soll ich zeigen, dass für $$x \in [0, \pi]$$ gilt: $$x \cdot |G_{k}(x)| \leq \pi.Für $$x \in [0,\frac{\pi}{1+2k}]$$ ist das relativ klar (zweite Darstellung oben). Aber sonst habe ich keine Idee - ich habe auch schon versucht, einfach die Extremstellen mittels der Ableitung zu finden, aber die wird so hässlich, dass ich die Nullstellen nicht ausrechnen kann
Bin für jede Idee dankbar.
Felix
EDIT: Hm, LaTeX will Geld sehen ($)
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Hast du schonmal probiert, in der ersten Darstellung den Zähler mit den Additionstheoremen zu entwickeln?
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Ich würde die Periodizität des Sinus ausnutzen!
Schau mal hier: http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+sin((3%2B1%2F2)*x)%2Fsin(1%2F2*x)
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http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+sin((3%2B1%2F2)*x)%2Fsin(1%2F2*x)
Ich würde also vermuten, dass du zeigen sollst, dass für Pi >= x >= Pi/(1+2k) der Ausdruck im Betrag kleiner gleich 1 ist.
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dsfds schrieb:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+sin((3%2B1%2F2)*x)%2Fsin(1%2F2*x)
Ich würde also vermuten, dass du zeigen sollst, dass für Pi >= x >= Pi/(1+2k) der Ausdruck im Betrag kleiner gleich 1 ist.
Das gilt aber leider nicht: http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+sin((3%2B1%2F2)*x)%2Fsin(1%2F2+*+x)%2C+x%3DPi%2F7...Pi
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Dann such den Punkt, ab dem es <= 1 ist.
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schätze den nenner mit $$\ge \frac x {\pi}$$ ab
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Phoemuex schrieb:
Bin für jede Idee dankbar.
Wenn das so ist, hier meine beiden Ideen (und ja ich hab nicht wirklich Ahnung von dem Krams).
1. Mit vollständiger Induktion.
2. Der hintere Ausdruck beschreibt eine Fourier-Entwicklung der Funktion:
f(x) = 2 \pi \delta(x) + 1 $$. Zumindest für k=unendlich lässt stimmt die Abschätzung dann sofort.