Frage zu Fourier Transformation und Frequenzdomäne

Ishildur

Hallo zusammen
Ich hab da mal eine Frage zur Frequenzdomäne und zwar, was ist das eigentlich nun wirklich? Ich dachte immer es handle sich hierbei um die Zerlegung eines Signals in der Zeitdomäne in die einzelnen Frequenzanteile. Aber wie ist dann das Resultat zu interpretieren?

Zeitdomäne
----------
X-Achse: Zeit
Y-Achse: Amplitude zur Zeit der X-Achse

Frequenzdomäne
--------------
X-Achse: ??? (vielleicht Frequenz?)
Y-Achse: ??? (vielleicht Amplitude der Frequenz auf der X-Achse?)

Aber das ergibt IMHO auch keinen Sinn, weil ja die Amplituden der einzelnen Frequenzen bspw. in einem Audiosignal sich innerhalb jedes noch so winzigen Zeitintervalls verändert?

Mfg Samuel

Ishildur schrieb:

Hallo zusammen
Ich hab da mal eine Frage zur Frequenzdomäne und zwar, was ist das eigentlich nun wirklich? Ich dachte immer es handle sich hierbei um die Zerlegung eines Signals in der Zeitdomäne in die einzelnen Frequenzanteile. Aber wie ist dann das Resultat zu interpretieren?

Zeitdomäne
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X-Achse: Zeit
Y-Achse: Amplitude zur Zeit der X-Achse

Frequenzdomäne
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X-Achse: ??? (vielleicht Frequenz?)
Y-Achse: ??? (vielleicht Amplitude der Frequenz auf der X-Achse?)

Aber das ergibt IMHO auch keinen Sinn, weil ja die Amplituden der einzelnen Frequenzen bspw. in einem Audiosignal sich innerhalb jedes noch so winzigen Zeitintervalls verändert?

Vielleicht hilft es, wenn du dir erstmal klar machst, was es überhaupt bedeutet, dass "eine Frequenz in einem Signal vorkommt"...

Du kannst so gut, wie jedes Signal, durch eine Überlagerung von Sinus-Funktionen schreiben. D.h. du addierst verschieden skalierte Sinus-Funktionen mit verschiedenen Phasen und Frequenzen aufeinander. Und erhältst damit das ursprüngliche Signal.

Diese Aufteilung ist eindeutig. Und jetzt geht man normalerweise her und trägt auf der X-Achse die Frequenz auf und auf der Y-Achse den Skalierungsfaktor, der zu dem Sinus mit der entsprechenden Frequenz gehört, auf.

Da du also auf der Y-Achse den Frequenzanteil auf dem kompletten Signal aufträgst, ist dieser natürlich für das komplette Signal konstant.

Diese tanzenden kleinen Balken, die dir der MP3-Player, beim Musik hören anzeigt, ist immer die Analyse eines kleinen Abschnittes des Signals. D.h. es wird nicht das gesamte Stück analysiert, sondern immer nur ein paar Sekundenbruchteile. Nur hast du dann nicht mehr eine Fourier-Transformation, sondern ganz viele, zu vielen verschiedenen Signalen...

scrub

Eine weitere Interpretation könnte sein: Die Fouriertransformation ist die Bildung von Kreuzkorrelationskoeffizienten. Eine Funktion ist das Testsignal, die andere Funktion ist eine komplexe Schwingung, letztere wird über alle Frequenzen durchgestimmt.

Ishildur schrieb:

Aber das ergibt IMHO auch keinen Sinn, weil ja die Amplituden der einzelnen Frequenzen bspw. in einem Audiosignal sich innerhalb jedes noch so winzigen Zeitintervalls verändert?

mit der Fouriertransformation mit diskreten Spektren, die du offenbar meinst, kannst du nur periodische Signale codieren.

Um nicht-periodische Signale, wie z.B. ein Musikstück, zu codieren, zerteilt man das Signal in kurze Abschnitte (z.B. von einigen Millisec Länge) und berechnet deren Spektren. Das Spektrum variiert dann natürlich von Abschnitt zu Abschnitt.

Nicht-periodische Signale (wie z.B. ein Musikstück als Ganzes oder ein Geräusch) lassen sich auch codieren, die haben dann allerdings ein kontinuierliches Spektrum.

rüdiger

scrub schrieb:

Eine weitere Interpretation könnte sein: Die Fouriertransformation ist die Bildung von Kreuzkorrelationskoeffizienten. Eine Funktion ist das Testsignal, die andere Funktion ist eine komplexe Schwingung, letztere wird über alle Frequenzen durchgestimmt.

Man kann es sogar als Projektion in einen anderen Vektorraum ansehen. Die Kreuzkorrelation stellt das Inprodukt da und die Sinusoide eine andere Basis des Funktionenraums.

krümelkacker

Ishildur schrieb:

Ich hab da mal eine Frage zur Frequenzdomäne und zwar, was ist das eigentlich nun wirklich? Ich dachte immer es handle sich hierbei um die Zerlegung eines Signals in der Zeitdomäne in die einzelnen Frequenzanteile. Aber wie ist dann das Resultat zu interpretieren?

Zeitdomäne
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X-Achse: Zeit
Y-Achse: Amplitude zur Zeit der X-Achse

Frequenzdomäne
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X-Achse: ??? (vielleicht Frequenz?)
Y-Achse: ??? (vielleicht Amplitude der Frequenz auf der X-Achse?)

Ja, so in etwa.
X-Achse: Frequenz
Y-Achse: Komplexe Zahl (Amplitude und Phase)

(zumindest bei 'ner FFT)

Ishildur schrieb:

Aber das ergibt IMHO auch keinen Sinn, weil ja die Amplituden der einzelnen Frequenzen bspw. in einem Audiosignal sich innerhalb jedes noch so winzigen Zeitintervalls verändert?

Nö. Die Amplituden/Phasen-Information gilt für den ganzen Zeitbereich. Du stellst Dein Zeitsignal einfach als gewichtete Summe von "Sinuswellen" zusammen.

Es ist vergleichbar mit Polynomen. Um ein Polynom vom Höchstgrad n-1 darzustellen, reicht es, n Polynomkoeffizienten festzulegen (Dein Zeitsignal). Alternativ kannst das Polynom an n verschiedenen Stellen auswerten (Dein Frequenzsignal). Wenn Du Dich bei den Stützstellen festlegst, ist das eine lineare bijektive Abbildung. Tatsächlich macht die diskrete Fourier-Transformation genau das. Die Stützstellen liegen dabei equidistant auf dem komplexen Einheitskreis. Deswegen kann man zB auch recht effizient eine Polynom-Multiplikation per FFT berechnen:
(1) Zwei Polynome gegenen durch ihre Koeffizienten auf dem Einheitskreis auswerten (FFT)
(2) Ergebnisse komponentenweise multiplizieren
(3) Polynomkoeffizienten anhand der neuen Stützpunkte berechnen (iFFT)

Das macht dann O(n*log n) statt O(n^2) im Zeitaufwand.

kk