4. Noch eine Aufgabe zu Kombinatorik

Noch eine Aufgabe zu Kombinatorik

  • C

    Hi, folgendes:

    "Einem Zöllner ist zugespielt worden, daß unter den 100 Passagieren eines ankommenden Fährenschiffes 3 Personen sind, die Schmuggelwahre führen.
    Wieviele Passagiere muß der Zöllner kontrollieren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,9 wenigstens einen Schmuggler zu erwischen?"

    Mein Ansatz:

    Beim ersten Zug erwischt er einen Schmuggler mit p = 3/100
    dann 3/99
    dann 3/98, 3/97 ...

    Mit jedem Zug erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, einen Schmuggler zu erwischen.

    --> 3/100 + 3/99 + 3/98 ... + 3/(100 - k + 1) >= 0,9

    Falls das stimmt, wie kann ich nach k auflösen?

    Danke mal wieder für Eure Hilfe!

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  • M

    Machs übers Gegenereignis:
    Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, aus 97 weißen und 3 schwarzen Kugeln, genau N weiße zu ziehen bei N Zügen?
    Sieht mir nach hypergeometrischer Verteilung aus.

    Die Wkt muss dann 0.1 oder kleiner sein, um auf dein N zu kommen.

    Dein Ansatz kann nicht stimmen, stell dir vor, er zieht 96 Leute raus, dann wäre die Wkt. nach deiner Rechnung größer als 1, was ja nicht stimmt 😉

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  • A

    Na hier hast du eindeutig eine hypergeometrische Verteilung (mit 2 Klassen).
    http://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verteilung

    Auch hier würd ich andersrum rechnen

    WKmindestensEinSchmugglerGefunden=1−WKkeinSchmugglerGefundenWK_{mindestensEinSchmugglerGefunden} = 1 - WK_{kein SchmugglerGefunden}

    Also:

    WKkeinSchmugglerGefunden(M,N,n,k)=(Mk)⋅(N−Mn−k)(Nn)WK_{keinSchmugglerGefunden}(M,N,n,k)=\frac{{M \choose k} \cdot {N-M \choose n-k}}{{N \choose n}}

    mit
    M: Anzahl der Schmuggler (3)
    N: Anzahl der Leute (100)
    n: Größe der Stichprobe (variabel)
    k: Anzahl der Schmuggler gefunden in der Stichprobe (0)
    Wk(mindestens ein Schmuggler gefunden): 0.9

    Einsetzen und nach n auflösen. Viel Spass dabei 😃

    für große N kann man allerdings das ganze durch eine Binomialverteilung approximieren (was die Rechnung erheblich vereinfachen dürfte)

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  • C

    Vielen Dank,

    ich hätte mir die Hypergeometrische Verteilung schon vorhin ansehen sollen, dann wäre ich vielleicht selbst drauf gekommen 🙄

    Danke vielmals.

    Eine weitere Frage.

    Wie kann ich dann 97!(100-n)! / 100!(97-n)! <= 0,1 kürzen?

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  • A

    Schreibs halt mal aus...dann wirds offensichtlich.

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  • ?

    Ich würde an die sache einfach "bruteforce" rangehen. Also:

    x: Anzahl Schmuggler
    x~H(100,3,n)
    und dann immer f(1)+f(2)+f(3) für n=1 bis n=100 rechnen und gucken, ab wann da 0,9 rauskommt und das ist dann die lösung.

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