Wie drücke ich formal folgendes aus?
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Hallo zusammen,
hier eine Frage, die nicht direkt etwas mit Programmierung als mehr mit Logik zu tun hat. Ich habe folgende simple 7.-Klasse-Aufgabe:
Bestimme alle ganzen Zahlen z, für die gilt: |z| < 3
Natürlich sieht man, dass man für z -2, -1, 0, 1 und 2 einsetzen kann. Aber wie schreibt man das formal basierend auf der Mengenlehre und Logik auf? Ich habe mal folgendes versucht:
(|z| < 3) ∧ (z ∈ ℤ) ∀ z ∈ {x | (-3 < x < 3) ∧ (x ∈ ℤ)}
Also sprachlich ausgedrückt: Der Betrag von z ist kleiner 3 und z ist eine ganze Zahl, geltend für alle Werte letzterer Menge. Aber wie erstelle ich diese Menge automatisch?
Wie erhalte ich mit der Vorschrift {x | (-3 < x < 3) ∧ (x ∈ ℤ)} die Menge {-2, -1, 0, 1, 2} mit der Gewissheit dass nicht ein Element fehlt? Zum Beispiel 17. Ich kann ja nicht für jede ganze Zahl testen ob gilt: -3 < x < 3.
EDIT: Anders herum kann ich auch nicht testen ob jede Zahl zwischen -3 und +3 eine ganze Zahl ist. Schließlich währen das genauso wie die ganzen Zahlen unendlich viele.
Ich hoffe ihr versteht was ich meine. Ich bitte um Kommentare (optimalerweise Antworten ^^).
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Ich würde schreiben $${ z \in \mathbb{Z} \mid |z|<3}$$.
Du müßtest halt beweisen, dass alle anderen Zahlen nicht in der Menge liegen. Zum Beispiel so:
Sei z aus Z mit z>3, dann gilt "nicht |z|<3", also ist es nicht in der Menge.
Sei z aus Z mit z<-3, dann gilt |z|>3, also auch "nicht |z|<3" und es ist nicht in der Menge.Geht das in die Richtung die Du Dir vorgestellt hattest?
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Letzteres verstehe ich. Da suche ich ob es ein Axiom oder eine Herleitung gibt um das zu formulieren. Bei der ersten Menge bin ich mir nicht sicher ob sie meinen ganzen Ausdruck ersetzen soll oder die Menge mit der ich Probleme habe.
Ich hab das Gefühl ich hab den Kopf gerade vollgestopft mit formalen Ausdrücken. Ich geh erst mal an die frische Luft. Danke für den Ansatz.