Integral lösen: \int | ln( | 1+exp(-I x) | ) | dx

Hallo,
ich verzweifle gerade. Vielleicht hat hier jemand eine passende Idee.

Ich habe eine Funktion A(y) = | 1+exp(-I y) |. (I ist die imaginäre Einheit und |.| der Betrag). Nun muss ich zeigen das $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\log(A(X))|}{1+X^2} \mathrm{d}X < \infty$$ (log ist der natürliche Logarithmus) ist. Zwischen X und Y besteht folgende Beziehung X = tan(Y/2) (y und x sind real). Also hab ich das Integral durch Substitution transformiert: $$\int_{-\pi}^{\pi} |\log(A(y))| \mathrm{d}y$$. Nun finde ich aber keinen weg, wie ich das Integral lösen kann. Ich hab bereits versucht A(y) umzuformen als $$\sqrt{(1+\exp(-I y)) (1+\exp(I y))}$$ oder als $$\sqrt{2} \sqrt{\cos(y) + 1}$$. Aber ich finde irgend wie keinen Ansatz.

Wenn ich die erste Umformung einsetze, dann komme ich auf:

$\frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} |\log(1+\exp(-I y)) + \log(1+\exp(I y)) | \mathrm{d}y$

In der Angabe steckt ein Hinweis, dass man die Form

$\int_0^{+\infty} \frac{\log(1+z^2)}{1+z^2} \mathrm{d}z = \pi \log(2)$

vielleicht benutzen kann. Wobei man wohl auch ohne die Form eine Lösung findet.

Vielleicht löst man das ganze über abschätzen. Bitte gebt mir ein paar Tips und Ideen!

SeppJ

1+X² im Nenner, das müsste sich doch im unendlichen in der komplexen Halbebene schließen lassen und dann kann man den Residuensatz anwenden. Problem ist hier natürlich, dass du durch den Logarithmus eine Singularität auf der reellen Achse hast, die zudem auch noch ein Verzweigungspunkt (Sagt man das auf deutsch so? Ich habe komplexe Analysis nur auf Englisch gelernt. Was ich meine ist ein branch cut) ist. Das heißt du müsstest die Integralkontur schon sehr clever legen (Schlüssellochmuster) und es wäre eine ganze Menge Rechenarbeit. Aber es wird zum Ziel führen.

Vermutlich gibt es aber auch eine wesentlich einfachere Lösung die ich im Moment nicht sehe, da ich den Tipp nicht verstehe.

ich müßte meine in der letzten Zeit etwas eingerosteten Mathe-Hirnzellen reaktivieren, also korrigier mich, wenn ich mich täusche ...

A(X) dürfte zwischen 1 und 2 liegen, also |log(A(X))| zwischen 0 und log 2.

kann man also das Integral nach oben abschätzen durch

2\cdot\log2\cdot\int_0^{\infty}\frac{dX}{1+X^2}$.$ Stammfunktion von $$\frac{1}{1+X^2}

ist glaub ich arctan, und arctan(oo) = PI/2, also arctan(oo)-arctan(0) = PI/2 - 0, und mit 2*log(2) multipliziert errechne ich PI*log(2) als obere Schranke für das Integral.

(ohne Gewähr auf Richtigkeit, ist ja schon eine Zeitlang her, daß ich so was ^^ wissen mußte)

Danke schonmal für die Hilfe.

!rr!rr_:

> A(X) dürfte zwischen 1 und 2 liegen, also |log(A(X))| zwischen 0 und log 2.

A(X) (also A(Y) mit Y = 2arctan(X)) wird auch kleiner als 1 und der Log leider entsprechend groß. An eine Abschätzung habe ich auch gedacht. Aber dadurch das man immer auch Werte zwischen 0 und 1 hat und damit einen entsprechend drastisch steigenden |log| habe ich da bisher keinen Weg gesehen.

SeppJ:

Uff :D. Wenn ich nur die Hälfte verstehen würde von dem was du sagst :(. Ich lese gerade ein bisschen bei Wikipedia nach. Aber ich denke nicht, dass die Lösung derart kompliziert ist.

SeppJ schrieb:

1+X² im Nenner, das müsste sich doch im unendlichen in der komplexen Halbebene schließen lassen und dann kann man den Residuensatz anwenden. Problem ist hier natürlich, dass du durch den Logarithmus eine Singularität auf der reellen Achse hast, die zudem auch noch ein Verzweigungspunkt (Sagt man das auf deutsch so? Ich habe komplexe Analysis nur auf Englisch gelernt. Was ich meine ist ein branch cut) ist. Das heißt du müsstest die Integralkontur schon sehr clever legen (Schlüssellochmuster) und es wäre eine ganze Menge Rechenarbeit. Aber es wird zum Ziel führen.

Vermutlich gibt es aber auch eine wesentlich einfachere Lösung die ich im Moment nicht sehe, da ich den Tipp nicht verstehe.

Ich hab mir das ganze mit dem Residuensatz ein wenig angeschaut. Glaube aber immer noch, dass es eine einfachere Lösung geben wird. Nun bin ich nämlich ganz verwirrt.

Wenn ich die

verzweifelt1000 schrieb:

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\log(A(X))|}{1+X^2} \mathrm{d}X < \infty$

Form nehme, dann muss ich ja A(X) = A(Y=2arctan(X)) einsetzen. Aber dann habe ich die Singularitäten bei +/-∞. Dann bringt mir der Residuensatz ja nicht viel oder?

SeppJ

verzweifelt1000 schrieb:

Uff :D. Wenn ich nur die Hälfte verstehen würde von dem was du sagst :(. Ich lese gerade ein bisschen bei Wikipedia nach. Aber ich denke nicht, dass die Lösung derart kompliziert ist.

Da hast du vermutlich recht. Wenn ihr das noch nicht gemacht habt, dann ist das auch nicht die gesuchte Lösung. Das kannst du dir auch nicht mal eben schnell anlesen. Das ist so die Dampfhammermethode für Integration die man in den höheren Semestern lernt. Aber der Nenner 1+x² hat mich so an das klassische Beispiel für diese Integrationsmethode (die Cauchy-Verteilung) erinnert, dass ich es einfach mal vorgeschlagen habe.

Du hast vermutlich Recht und es gibt eine wesentlich einfachere Lösung, wenn man nur den Tipp verstehen würde. Die Aufgabe bezieht sich doch bestimmt auf konkreten Lehrstoff. worum ging es denn da?

Paley-Wiener-Theorem. Also A ist eine Amplitudenfunktion einer Fouriertransformierten (eines diskreten Signals) und man soll zeigen, ob es sich dabei um ein kausales System handelt. Ich habe leider keinen passenden Link für Paley-Wiener-Kriterium parat. Bei Google Books findet man es aber zB http://books.google.at/books?id=5zO6An_g-AgC&pg=PA245&dq=Paley-Wiener+criterion&hl=en&ei=qn3BTPjaIIeA4QbToZSfDA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCQQ6AEwAA#v=onepage&q=Paley-Wiener criterion&f=false (S.245)

Die Transformation zwischen X und Y ist die Bilineartransformation.