[gelöst (...und Danke)] Beweis der Linearität des Erwartungswertes
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Hallo und einen schönen guten Abend,
Ich habe hier eine grundlegende Frage aus dem Thema Stochastik.
Es gilt ja die Linearität des Erwartungswertes:E(X) + E(Y) = E(X + Y)
Da bei gilt:
E(X) = ∫ x * f(x) dx
E(Y) = ∫ y * g(y) dy
E(X + Y) = ∫∫ (x + y) * h(x, y) dx dyMein Problem ist, dass ich nach 3 Schritten den Beweis einfach nicht mehr weiter führen kann. Im Netz hab ich auch leider keinen "guten" Beweis gefunden, der den selben Ansatz verfolgt.
vielen Dank im vorraus für Antworten.
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Jetzt benutzt Du dass $$\int f(x,y) , dy = f(x)$$ analog for g(y).
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Ich nenn mal lieber f(x, y) gleich um in h(x, y) um Namensverwirrungen zu verhindern... mein Problem ist genau an der Stelle:
∫∫ x * h(x, y) dx dy + ∫∫ y * h(x, y) dx dy
Es soll ja sein:
E(X) + E(Y)also reduzier ich mal das Problem nur auf
∫∫ x * h(x, y) dx dy = E(X)(1)= ∫ f(x, y) + x * f'(x, y) dy
(2)= f*(x, y) + x * f'*(x, y)(1) Angewenden mit uv = u'v + uv'
(2) dabei f* nach y abgeleitet und f'* erst nach x dann nach ynur seh ich nicht, dass gilt:
E(X) = f*(x, y) + x * f'*(x, y)
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Das Integral so auszurechnen bringts nicht wirklich.
Ich nehm mal nur den einen Teil der Summe:
Und jetzt benutze, dass $$\int h(x,y) dx = g(y)$$. Damit vereinfacht sich der ganze Zerm zu E(Y). Mit dem anderen gehts analog zu E(X).
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Hmm...
∫ h(x, y) dx = g(y)
Ich glaub ja, dass das stimmt. Nur kenn ich die Rechenregel nicht, noch scheint es mir ohne eine genaue Angabe von h und g einleuchtet, dass diese Gleichung gilt.
Ist es vielleicht möglich, mir eine Referenz für die Regel zu geben. Verzeihung,ich weiß ich bin ein Matheidiot...vielen Dank aber für die schnellen Antworten.
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