Vektoren und Matrizen

[SeppJ]

adonis schrieb:

Ich denk mal weil das Gesetz auch für die addition gilt?

Genau. In der Algebra unterscheidet man gar nicht so sehr zwischen Addition und Multiplikation, das sind einfach nur ganz allgemein Verknüpfungen. Die reellen Zahlen sind eine abelsche Gruppe sowohl hinsichtlich der addition als auch der Multiplikation (wenn man die Null weglässt, weil diese kein Inverses bezüglich der Multiplikation hat).

Und durch die Eigenschaft des Kommutativgesetzes gehört jeder Körper Automatisch zur ableschen Gruppe oder?

Jeder Körper ist bezüglich seiner Addition automatisch eine abelsche Gruppe. Und er ist auch automatisch eine abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation, wenn man das neutrale Element der Addition weglässt. Beweisen mag ich das jetzt nicht, siehe irgendein beliebiges Buch über lineare algebra für 1. Semester Hochschulmathematik.

Und ein Vektorraumaxiom wäre dann die Multiplikation mit einem Skalar.

Nicht ganz. Die Vektorraumaxiome sind die Regeln die du später aufzählst:

SkalarVektor müssen Element vom Vektorraum sein.
Distributivgesetz mussgelten
und man brauch das neutrale Element
1a=a (a Element von V[ektorraum])

und für die Addition in V muss gelten
a+b € V
und wieder kommutativ, assoziativ, inverses Element und neutrales Element.

Dann, wenn diese Regeln (Axiome) für die Skalarmultiplikation gelten, dann hat man einen Vektorraum.

[Michael E.]

adonis schrieb:

Multiplikation:
[...]
und multiplikative inverse

Außer für die 0. Außerdem fehlt noch 0 ≠ 1 und die Dinge, die man so gerne übersieht ;): Die Abgeschlossenheit bzgl. + und , d. h. a+b, ab sind im Körper, wenn a und b drin sind.

[adonis]

Zum Thema Abgeschlossenheit, hab ich nur was am Rande gelesen.
Also als Beispiel x ist Element der Reelen Zahlen, und ich schreibe sowas
wie Wurzel(-x), dann ist -x zwar im Körper enthalten, aber Wurzel(-x) nicht.
Ginge so ein Beispiel?

Ich hab jetzt einiges über den Vektorraum gelernt, ist auch sehr interesssant,
aber noch sehe ich nicht wie mich das weiter bringt.

[knivil]

Wenn x positiv ist, dann ja.

aber noch sehe ich nicht wie mich das weiter bringt

Wo willst du denn hin?

[adonis]

Ich möchte einmal in Richtung Physik und einmal in Richtung 3D Mathematik.

[adonis]

So mal weiter im Thema.

Ein Vektor besteht aus Komponenten, die Komponenten kommen aus dem Körper
und der Skalar auch, richtig?

In der Physik spricht man davon Geschwindigkeit sei ein Vektor mit Betrag und
Richtung.

v=s/t für den weg s=vt

nun könnte ich sagen v ist meine Steigung, Steigung ist definiert mit
DeltaY/DeltaX ich kann den Winkel bestimmen und könnte die Distanz von
2 Punkten bestimmmen.

Scheint viel Ähnlichkeit mit einem Vektor zu haben. Wie würde aber die Geschwindigkeit als Vektor aussehen, kann ich einfach schreiben

|DeltaX|
|DeltaY| ?

und die Zeit als Skalar?

edit:

Ok, ich hab nochmal nach gedacht, was drücke ich überhaup aus, wenn ich die
Geschwindigkeit als Vektor Darstelle?

Und ist v so wie wir in der Schule rechnen, überhaupt ein Vektor?

[adonis]

mhh nochmal nachgedacht Geschwindigkeit als Vektor wäre doch eine Verschiebung
abhängig von der Zeit.

VectorGeschwindigkeit = Vectorweg/t

für den Weg könnte ich schreiben

VectorWeg(0,0,30) = Vektorgeschwindigkeit(0,0,10)*3

die komponenten x,y,z sind meine punkte im Raum.

Normal im physikunterricht kann ich nur sagen welche Strecke etwas zurückgelegt hat, aber nicht wohin. und mit -v nur das sich etwas in die andere Richtung bewegt.

[adonis]

ok, dann eine Frage.

Einfache Aufgabe 2 Fahradfahrer der 1. bewegt sich mit $$5\frac{m}{s}$$ und hat 10m Vorsprung der 2. bewegt sich mit $$15\frac{m}{s}$$ und ich will wissen wann sie sich treffen.

also $$5\frac{m}{s} t +10m$$= $$15\frac{m}{s}t$$
nach 1s treffen die sich.

Nun möchte ich, dass sich die Farher auf einer Fläche bewegen.
Mit einer Gradengleichung für beide

$\text g: \vec {x} = \dbinom {a\_1}{a\_2} + \lambda \dbinom {b\_1}{b\_2}$

kann ich bestimmen ob sich die Wege schneiden, aber wie bringe ich hier
jetzt die Geschwindigkeit rein. Die wege mögen sich ja vielleicht kreuzen,
aber vielleicht ist der andere ja schon vorbei.

Und für später, vielleicht fährt der eine ja ein langes TandemFahrrad mit
anhänger, aber will es erstmal nicht komplizierter machen als es schon ist:)

[bmario]

Ohoh, jetzt wird es schon spannend, denn du beackerst grade 5 Baustellen gleichzeitig und tanzt dazu noch auf 3 Hochzeiten

Fangen wir mal an, die Beziehung zwischen Punkten und Vektoren zu erläutern.
Dazu stelle dir jetzt mal eine Ebene vor. So eine Ebene besteht aus Punkten. Wenn ich jetzt aber über einen bestimmten Punkt reden will, dürfte es schwer werden zu sagen, welchen man den überhaupt meint. Deshalb wird in der Ebene ein Koordinatensystem festgelegt.

Dazu bestimmt man einen Punkt O als den Nullpunkt und man bestimmt zwei weitere Punkte E1 und E2 als Einheitspunkte. Mit diesen drei Punkten kann man nun jeden beliebigen Punkt P auf der Ebene eindeutig koordinatisieren. Das geht mit Hilfe eine Parallelogrammes, welches als eine Ecke den Punkt O hat und die gegenüberliegende Ecke ist der Punkt P. Außerdem liegen die Seiten, die an O liegen, auf entweder der Geraden durch O und E1 oder auf der durch O und E2. Es gibt also eine Zahl x und eine Zahl y, sodass die Längen der Seiten gerade x mal den Abstand zwischen O und E1 bzw. y mal den Abstand O und E2 entspricht. Das Tupel (x,y) nennt man die Koordinaten von P.

z.B. kannst du dir auf ein Blatt Papier ein kartesische Koordinatensystem aufzeichen, ganz so wie in der Schule. Dabei ist der Schnittpunkt der Punkt O, und die Stellen an den Koordinatenachsen, wo du 1 dran schreibst, die Punkte E1 und E2. Dabei ist es aber unerheblich, ob die Strecke zwischen 0 und 1 1cm ist, oder 1,5 cm. Auch könntest du die y-Achse nicht senkrecht zur x-Achse zeichnen. In jeden Fall kann man jedem Punkt auf dem Papier eindeutig seine Koordinaten zuordnen.

Wie du sicherlich bereits weißt ist R^2 ein Vektorraum. Die Idee ist dir sicher schon klar, wir identifizieren jetzt unser Blatt mit dem ausgezeichneten Koordinatensystem mit R^2
Offensichtlich wird der Punkt O der Nullvektor. Und was ist nun der Vektor in diesem Zusammenhang?
Der Vektor ist definiert als der Pfeil, der von O nach P zeigt. Das heißt also, ein Vektor ist eindeutig bestimmt, durch den Punkt P auf welchen er zeigt. Und diesen Punkt P konnten wir auch eindeutig darstellen als die Koordinaten (x,y). Also ist ein Vektor gerade die Koordinate eines Punktes. Mit "scharfen Hinsehen" sieht man, das die Koordinate von O (0,0), von E1 (1,0) und von E2 (0,1) ist.

Etwas anderes Bemerkenswertes lacht uns dabei auch noch an. Und zwar kann man mit Kombinationen von (1,0) und (0,1) jede beliebige andere Koordinate (x,y) erzeugen, denn es gilt:
x*(1,0) + y*(0,1) = (x,y). Dies sieht man mit Hilfe des Koordinatensystems. Nun haben wir also zwei Vektoren gefunden, mit denen ich jeden beliebigen anderen Vektor in R^2 erzeugen kann. Solche Vektoren nennt man Basis. Im speziellen nennt man e1 := (1,0) und e2 := (0,1) auch kanonische Basis des R^2.

Wir wissen jetzt also, zu jedem Punkt P gibt es einen Vektor in R^2 und umgekehrt. Allerdings muss man aufpassen, das man Punkte und Vektoren nicht durcheinander wirft und das obwohl man sie auf diese Art so gut miteinander verheiraten kann.

Offensichtlich gibt es Punkte P1 und P1 die mit dem Punkt O auf einer Geraden liegen und sich also nur durch ihren Abstand zu O unterscheiden. Die Vektoren p1 und p2 die zu diesen Punkten P1 und P2 gehören nennt man linear abhängig. Vektoren p1 und p2 die nicht linear abhängig sind, heißen linear unabhängig.

Und noch etwas anderes, zeichnet man nun einen Pfeil von Punkt P1 zu Punkt P2, hat man offensichtlich ein Problem, denn man kann nicht sofort sagen, ob dies ein Vektor ist. Diesen Pfeil indentifiziert man aber mit dem Vektor (p2 - p1). Das heißt jeder Pfeil, der nicht vom Nullpunkt ausgeht, wird in diesen verschoben. Genau genommen müsste man also definieren, ein Vektor ist eine Äquivalenzklasse aller Pfeile mit der selben Ausrichtung und der selben Länge. Es ist mit dieser Definition also unerheblich, von wo man Pfeile zeichnet.

Das sollte als Crashkurs für Lineare Algebra reichen

Das wirklich gemeine kommt eigentlich erst in der Physik, denn gerade wenn man z.B. Kräfte betrachtet, stellt man fest das es ganz und gar nicht unerheblich ist, WO diese Angreifen. z.B. Hebelgesetz! Auch macht einem die Tatsache, das real existierende Dinge immer eine Ausdehnung haben, zu schaffen. Man sollte daher, wo es sinnvoll und möglich ist, mit Punkten rechnen und sich so das Leben nicht schwerer machen.

Zu dem Problem mit den Fahrradfahrern gebe ich dir den Tipp, die Parametrisierung der Geraden anzupassen. So ist der zweite Fahrer dreimal so schnell wie der Erste. Dann musst du nur die Startpunkte und die Geschwindigkeit in die Geradengleichung einsetzen. Dabei ist die Geschwindigkeit physikalisch gesehen die ÄNDERUNG des ORTES in einer gewissen ZEIT t.

[otze]

@bmario vergiss Pfeile. Es gibt Vektorräume (wie den hier), in denen jegliche Interpretation mit Pfeilen komplett irreführend ist. Auch die Unterscheidung zwischen "Punkten und Vektoren" fällt raus. Das ist etwas, womit Physiker sich herum schlagen. Mathematisch gesehen ist ein Vektor aber nicht anderes als ein Wertetupel das bestimmte Operationen mit bestimmten Eigenschaften anbietet. Ob das Tupel nun einen Punkt oder eine Richtung oder eine Differenz oder was auch immer darstellt, ist dem Mathematiker ziemlich schnurz.

Die einzige halbwegs korrekte Ausdrucksweise, um Pfeile und Vektoren zu verheiraten ist: Ein Pfeil ist eine mögliche Darstellung für den Wert eines Vektors.

@adonis zu deiner letzten Frage: Die beiden Radfahrer müssen sich nicht nur am selben Punkt, sondern auch am selben Zeitpunkt befinden. Die Repräsentation des Vektors als Ort alleine alleine reicht also noch nicht aus, um alle Informationen gleichzeitig darzustellen. Friemel noch die Zeit mit rein.

Wenn du die Lösung gefunden hast, überlege dir einfach mal, ob das normale Skalarprodukt in diesem Raum überhaupt noch Sinn macht.

[bmario]

otze schrieb:

@bmario vergiss Pfeile. Es gibt Vektorräume (wie den hier), in denen jegliche Interpretation mit Pfeilen komplett irreführend ist. Auch die Unterscheidung zwischen "Punkten und Vektoren" fällt raus. Das ist etwas, womit Physiker sich herum schlagen. Mathematisch gesehen ist ein Vektor aber nicht anderes als ein Wertetupel das bestimmte Operationen mit bestimmten Eigenschaften anbietet. Ob das Tupel nun einen Punkt oder eine Richtung oder eine Differenz oder was auch immer darstellt, ist dem Mathematiker ziemlich schnurz.

Die einzige halbwegs korrekte Ausdrucksweise, um Pfeile und Vektoren zu verheiraten ist: Ein Pfeil ist eine mögliche Darstellung für den Wert eines Vektors.

Ich weiß, irgendwas muss ja beim Mathestudium hängenbleiben Und ich weiß das diese Intepretation mit Pfeilen nicht immer hilfreich ist, im R^n schon. Und ich habe mich ja explizit auf R^2 bezogen. Ich hab das Ganze also nur mal etwas geometrischer und weniger Algebraisch betrachtet Denke das hilft adonis mehr, denn er will ja in Richtung Physik und R^3

[adonis]

Zum Thema Zeit hatte ich mir schon etwas überlegt, weiß nur nicht, ob der
Gedanke richtig ist.

In Physik kam mal eine Aufgabe, bei der etwas aus nem Flugzeug geworfen wurde.
Nun lässt sich die Geschwindigkeit ja zerlegen.

\vector (4,0) {15}$$ v1 $$\vector (0,-4) {15}

v2

Ich würde jetzt eigendlich Schlussfolgern, dass es zu jeder meiner
Koordinatenachen x, y, jeweils noch eine Zeitachse gibt also wie xt und yt.

Zum Normalen Skalarprodukt, glaub nicht dass sie Sinn macht, aber ich habe davon ja auch nicht soviel Ahnung. Würde ich jetzt hier nicht dann zum Thema
Matrizen kommen?

otze schrieb:

Auch die Unterscheidung zwischen "Punkten und Vektoren" fällt raus. Das ist etwas, womit Physiker sich herum schlagen. Mathematisch gesehen ist ein Vektor aber nicht anderes als ein Wertetupel das bestimmte Operationen mit bestimmten Eigenschaften anbietet. Ob das Tupel nun einen Punkt oder eine Richtung oder eine Differenz oder was auch immer darstellt, ist dem Mathematiker ziemlich schnurz.

Ist es einem Mathematiker wirklich schnurz. Kommt es nicht drauf an mit welchem
Gebiet man sich beschäftigt? Zum Beispiel Geometrie, ist es da egal?