sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)

Wer sieht das sofort, ohne es als auswendig gelernt einfach hinzunehmen oder sich dieses Video anzusehen?
http://www.youtube.com/watch?v=zw0waJCEc-w

Kann man das eigentlich? Also so ein gutes Vorstellungsvermögen zu haben?

Wärt ihr in der Lage gewesen obige Formel in 3 Minuten ohne groß nachzudenken oder herumzuprobieren herzuleiten?

ich schaue mir das Video nicht an, aber:

$cos(a+b)+isin(a+b)=e^{i(a+b)}=e^{ia}e^{ib}=(cos(a)+isin(a))(cos(b)+isin(b))$

jetzt auf beiden Seiten den Imaginärteil nehmen und fertig.

Werner Salomon

Mathedau schrieb:

Wer sieht das sofort, ohne es als auswendig gelernt einfach hinzunehmen oder sich dieses Video anzusehen?
http://www.youtube.com/watch?v=zw0waJCEc-w

Kann man das eigentlich? Also so ein gutes Vorstellungsvermögen zu haben?

Ja das kann man, wenn man es aus Dingen ableiten kann, die man weiß, ohne groß nachdenken zu müssen. In meinem Fall würde ich den sin(a+b) als Teil einer Rotationsmatrix (2D) betrachten.
Ich denke mir die Rotationsmatrix für a

[ cos(a) -sin(a) ]
[ sin(a)  cos(a) ]

und die für b

[ cos(b) -sin(b) ]
[ sin(b)  cos(b) ]

dann finde ich den sin(a+b) als Element des Resultats der Matrizenmultiplikation in der linken unteren Ecke der Ergebnismatrix - also das Skalarprodukt des Zeilenvektors [ sin(a) cos(a) ] und des Spaltenvektors [ cos(b) sin(b) ]T -
ergo: sin(a)\*cos(b)+cos(a)\*sin(b)

Das ist letztlich eine Frage, ob man mit solchen Dingen regelmäßig zu tun hat, dann kann ich mir dass in weniger als 1min überlegen und kann das Ergebnis fertig hinschreiben, ohne es vorher auswendig gelernt zu haben.

Gruß
Werner