Ungleichung beweisen.
-
Hallo,
$ \sum_{k=0}^{n}\binom{m}{k}\frac{1}{m^{k}} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\cdot \frac{m}{m}\cdot\frac{m-1}{m}\cdot\cdot\cdot\frac{m-k+1}{m} \geq \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left (\frac{m-n}{m} \right )^n $
es geht um die Ungleichung. Sie gilt für alle m > n.
Wie kann ich zeigen, dass sie eine wahre Aussage ist?Danke schonmal!
:xmas2:
LG
-
nachdenken? das gleichheitszeichen ist die definition des binomialkoeffizienten. das größergleich folgt aus dem komponentenweisen größergleich
-
Es gelingt mir nicht das so umzuformen, damit man das >= sehen kann.
So wie es da steht das zu erkennen, ist für mich nicht möglich, zumal die Anzahl der m im Nenner links vom >= direkt von k abhängt.
-
Ich würde es spontan mit vollständiger Induktion probieren...
-
mathematikpraktikant schrieb:
zumal die Anzahl der m im Nenner links vom >= direkt von k abhängt.
Ja, allerdings kann k nicht grösser n werden, was für die Abschätzung ja recht hilfreich ist.
-
induction schrieb:
Ich würde es spontan mit vollständiger Induktion probieren...
Zuviel des Guten.
Zu zeigen ist einfach, dass jeder Summand auf der linken Seite groesser ist als auf der rechten. Formt man den Teil in der Summe um, so ergibt sich:
$ \prod_{i=0}^{k-1}(1-\frac{i}{m}) \geq (1-\frac{n}{m})^n $Also fangen wir auf der linken seite an. Da haben wir aber nur k Faktoren. Macht aber erstmal nichts. Weiterhin wissen wir, dasss...
$ (1-\frac{i}{m}) \geq (1-\frac{n}{m}) $da i < n, auf der rechten Seite wird einfach eine groessere Zahl von 1 abgezogen, als auf der linken. Also ersetzen wir jeden Faktor unseres Produktes wie folgt:
$ \prod_{i=0}^{k-1}(1-\frac{i}{m}) \geq \prod_{i=0}^{k-1}(1-\frac{n}{m}) = (1-\frac{n}{m})^k $Jetzt haben wir aber nur k Faktoren, also multiplizieren wir einfach mit einer Zahl kleiner als 1 (und wieder und wieder ...)
$ (1-\frac{n}{m})^k \geq (1-\frac{n}{m})^k(1-\frac{n}{m}) \geq (1-\frac{n}{m})^k(1-\frac{n}{m})^{n-k} = (1-\frac{n}{m})^n $Somit ist jeder Summand auf der linken Seite groesser als der entsprechende Summand auf der rechten. Somit ist die gesamte Summe auf der linken Seite groesser als auf der rechten.
So in etwa ... haette ich jedesmal im Studium Geld dafuer genommen, dann waere ich jetzt wohl reich.
-
knivil schrieb:
da i < n, ...
n ist doch variabel...
-
mathematikpraktikant schrieb:
knivil schrieb:
da i < n, ...
n ist doch variabel...
k ist kleiner als n und i ist kleiner als k.
-
Michael E. schrieb:
k ist kleiner als n und i ist kleiner als k.
Stimmt.
Super Idee, das in diese Produktform zu bringen.
Vielen Dank für deine Mühe!