2 aufgaben vollständige induktion

hallo!
ich habe zwei aufgaben die ich mit v. ind. lösen soll, aber ich komme nicht auf die idee:((

für jedes n >= 2 gilt n+1 > 2ⁿ
für a € N mit a>=3 gilt aⁿ > n² für n € N

ich sehe nicht, wie ich auf n+1 kommen soll.. also dass ich (n+1)+1 > 2ⁿ⁺¹ herleite.
wie soll ich es richtig machen? danke!!

icarus2

Also ich nehme an, dass du nicht n+1 > 2^n sondern n+1 < 2^n beweisen musst. Ich habe das erste mal versucht, bin mir allerdings nicht ganz sicher, ob ichs richtig gemacht habe.

Verankerung (n = 2)
2 + 1 < 2^2 <==> 3 < 4

Induktionsannahme:
A(n) <==> n + 1 < 2^n

Induktionsschritt:
A(n+1) <==> 2^(n+1) = 2^n * 2 > (n+1) * 2 = 2n + 2 > n + 2 = (n+1) + 1 ==> 2^(n+1) > (n+1) + 1

Könnte man so machen, nicht?

danke dir! ja, hab < > vertauscht. die zweite sollte wohl ähnlich gehen. ich werds mal ausprobieren.

n+1 < 2^n

n < 2^n = n^(1/n) < 2;
1/n -> 0 (wegen beschränkt und mon. fallend)
=> n^(1/n) -> 1

deshalb ist n < 2^n und erst recht n+1 < 2^n .

this!

Testperson7 schrieb:

n+1 < 2^n

n < 2^n = n^(1/n) < 2;
1/n -> 0 (wegen beschränkt und mon. fallend)
=> n^(1/n) -> 1

deshalb ist n < 2^n und erst recht n+1 < 2^n .

this!

Edit: Induktion wäre hier, n^(1/n) < 2 => (n+1)^1/(n+1) <2

<=> n+1 < 2^n+1

da aber n+1 < 2^n ist, stimmt das dann auch.

icarus2 schrieb:

Also ich nehme an, dass du nicht n+1 > 2^n sondern n+1 < 2^n beweisen musst. Ich habe das erste mal versucht, bin mir allerdings nicht ganz sicher, ob ichs richtig gemacht habe.

Verankerung (n = 2)
2 + 1 < 2^2 <==> 3 < 4

Induktionsannahme:
A(n) <==> n + 1 < 2^n

Induktionsschritt:
A(n+1) <==> 2^(n+1) = 2^n * 2 > (n+1) * 2 = 2n + 2 > n + 2 = (n+1) + 1 ==> 2^(n+1) > (n+1) + 1

Könnte man so machen, nicht?

Das sieht aber auch falsch aus^^
2^n * 2 > (n+1) * 2 wieso soll das denn gelten?

lustig

Das stimmt schon so. Das ist genau der Induktionsschritt um den es bei der vollständigen Induktion geht.

ne stimmt nicht so -.-

icarus2

Testperson7 schrieb:

icarus2 schrieb:

Also ich nehme an, dass du nicht n+1 > 2^n sondern n+1 < 2^n beweisen musst. Ich habe das erste mal versucht, bin mir allerdings nicht ganz sicher, ob ichs richtig gemacht habe.

Verankerung (n = 2)
2 + 1 < 2^2 <==> 3 < 4

Induktionsannahme:
A(n) <==> n + 1 < 2^n

Induktionsschritt:
A(n+1) <==> 2^(n+1) = 2^n * 2 > (n+1) * 2 = 2n + 2 > n + 2 = (n+1) + 1 ==> 2^(n+1) > (n+1) + 1

Könnte man so machen, nicht?

Das sieht aber auch falsch aus^^
2^n * 2 > (n+1) * 2 wieso soll das denn gelten?

-.-

Schau dir mal die verankerte Induktionsannahme aus, dann weisst du es -.-

icarus2 schrieb:

Testperson7 schrieb:

icarus2 schrieb:

Also ich nehme an, dass du nicht n+1 > 2^n sondern n+1 < 2^n beweisen musst. Ich habe das erste mal versucht, bin mir allerdings nicht ganz sicher, ob ichs richtig gemacht habe.

Verankerung (n = 2)
2 + 1 < 2^2 <==> 3 < 4

Induktionsannahme:
A(n) <==> n + 1 < 2^n

Induktionsschritt:
A(n+1) <==> 2^(n+1) = 2^n * 2 > (n+1) * 2 = 2n + 2 > n + 2 = (n+1) + 1 ==> 2^(n+1) > (n+1) + 1

Könnte man so machen, nicht?

Das sieht aber auch falsch aus^^
2^n * 2 > (n+1) * 2 wieso soll das denn gelten?

-.-

Schau dir mal die verankerte Induktionsannahme aus, dann weisst du es -.-

Induktionsschritt:
A(n+1) <==> 2^(n+1) = 2^n * 2 > (n+1) * 2 = 2n + 2 > n + 2 = (n+1) + 1 ==> 2^(n+1) > (n+1) + 1

du zeigst nirgends warum n+1 < 2^n sein soll...
du zeigst nur das n+1 < n+2 ist und das machst du induktiv :oO

sry, das kann so nicht stimmen.

grüsse und frohes neues

Testperson7 schrieb:

icarus2 schrieb:

Testperson7 schrieb:

icarus2 schrieb:

Also ich nehme an, dass du nicht n+1 > 2^n sondern n+1 < 2^n beweisen musst. Ich habe das erste mal versucht, bin mir allerdings nicht ganz sicher, ob ichs richtig gemacht habe.

Verankerung (n = 2)
2 + 1 < 2^2 <==> 3 < 4

Induktionsannahme:
A(n) <==> n + 1 < 2^n

Induktionsschritt:
A(n+1) <==> 2^(n+1) = 2^n * 2 > (n+1) * 2 = 2n + 2 > n + 2 = (n+1) + 1 ==> 2^(n+1) > (n+1) + 1

Könnte man so machen, nicht?

Das sieht aber auch falsch aus^^
2^n * 2 > (n+1) * 2 wieso soll das denn gelten?

-.-

Schau dir mal die verankerte Induktionsannahme aus, dann weisst du es -.-

Induktionsschritt:
A(n+1) <==> 2^(n+1) = 2^n * 2 > (n+1) * 2 = 2n + 2 > n + 2 = (n+1) + 1 ==> 2^(n+1) > (n+1) + 1

du zeigst nirgends warum n+1 < 2^n sein soll...
du zeigst nur das n+1 < n+2 ist und das machst du induktiv :oO

sry, das kann so nicht stimmen.

grüsse und frohes neues

Edit: Ups, sollte endlich mal Induktion ernst nehmen =).

icarus2

Meins sollte so schon stimmen. Mann nimmt die Aussage ja für n an und will dann zeigen, dass sie auch für n+1 gilt. Dann würde sie folglich auf für n+2, für n+3 usw. gelten.
Daher darf man die Aussage für A(n) als gegeben betrachten, sie wurde ja auch verankert.

icarus2 schrieb:

Meins sollte so schon stimmen. Mann nimmt die Aussage ja für n an und will dann zeigen, dass sie auch für n+1 gilt. Dann würde sie folglich auf für n+2, für n+3 usw. gelten.
Daher darf man die Aussage für A(n) als gegeben betrachten, sie wurde ja auch verankert.

jo, dachte irgendwie A(n +1) oder A(n) müsste ein vollständiger beweis sein...

aber brauchts ja nicht wegen induktion

und wie lern ich jetzt latex?

icarus2

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