Kombinatorik - Das Grafik-Modell führt zu Widersprüchen
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Aufgabe
Aus einer Urne mit 5 Kugeln, die von 1 bis 5 durchnummeriert sind, werden 3 Kugeln mit Zurücklegen entnommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal Kugel Nr.5 und einmal Kugel Nr.2 entommen wurde?Hallo liebe Community!
Mir geht es nicht wirklich um die Lösung der obigen Aufgabe, ich bin ziemlich sicher, dass ich sie ohne Probleme selbst lösen kann. Sie dient aber zur Veranschaulichung meines Problems mit einem bestimmten Modell der Kombinatorik, das zu Ergebnissen führt, die den anderen möglichen Modellen widersprechen.
1.) Modell
P = (3 über 1)/5^3 = 3/125 = 0.0242.) Modell
P = (1/5)^2 * (1/5) * (3 über 1) = 3/125 = 0.0243.) Modell
P = 1/(7 über 3) = 1/35 = 0.029Mein Problem liegt offensichtlich beim 3.Modell. Der Gedanke, der dahintersteht, ist folgender:
Ich zähle die Möglichkeiten, die es gibt, 3 Kugeln mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge zu ziehen. Dazu verwende ich folgendes Modell: Ich verteile 3 Kugeln auf 5 Urnen, das entspricht einer Zeichenkette von 4 Trennstrichen und 3 "Füllsymbolen". Für die Anordnung dieser Zeichenkette gibt es dann 7 über 3 Möglichkeiten. Wenn man von dieser Zahl der Gesamtmöglichkeiten ausgeht, dann beträgt die Anzahl der günstigen Möglichkeiten genau 1.
Nach meinem Verständnis müsste 1/(7 über 3) also ebenfalls die richtige Wahrscheinlichkeit liefer - das tut sich offensichtlich aber nicht.Wo liegt also der Fehler im 3. Modell?
Interessant finde ich auch, dass eine Zählung dieser Möglichkeiten laut den ersten beiden Ergebnissen garnicht möglich sein kann. 3/125 = 1/x führt zu einem nicht natürlichen x. Ist die 1 im Nenner evtl. falsch?
Viele Grüße und danke für's Lesen,
Leidi
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Deine Zeichenketten sind nicht alle gleich wahrscheinlich. xxx|||| ist unwahrscheinlicher als x|x|x||.
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Danke, das erklärt alles.