Allgemein: Grenzwert lim n->unendlich (1+g(x))^f(x) ?
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In ner Mathe Übung haben wir das aufgeschrieben.
Der Prof erklärt das so: e ist der Grenzwert von lim n->inf (1+1/n)^n
und dann sagte er in dem Zusammenhang noch:
Und allgemein ist der Grenzwert von lim n->inf (1 plusminus irgendwasmitg(x))^irgendwasmitf(x) = irgendwaswasichvergessenha
aber ich finde die Unterlagen nicht mehr und habs vergessen, zusätzlich habe ich keine gescheite mathematische "Formelsammlung" (also keinen Bronstein).
Brauche das grade aber für ne Grenzwertübung, wäre euch also dankbar wenn mir das einer sagen könnte :xmas2:
Frohes neues!
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L'Hospital
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g(x) und f(x) sind von n nicht abhaengig ...
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:xmas2:
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Zeige doch mal das konkrete Beispiel. Vielleicht hat dann jemand noch ne Idee
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Ich gehe Prüfungsaufgaben zur Übung durch und da ist eigentlich immer eine derartige Form dabei, aber als konkretes Beispiel ist z.B. eine aus dem letzten Sommersemester für Mathe 1 (ich lad ein Bild von Wolfram Alpha hoch da ich kein Latex kann)
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Meinst du vielleicht lim n->inf (1 + x/n)^n = e^x?
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Santa Klaus schrieb:
Meinst du vielleicht lim n->inf (1 + x/n)^n = e^x?
nicht ganz. was wäre dann z.B. lim n->inf (1 + x/2n+n2)n! ?
Da gab es so eine ganz simple allgemeine Gleichheit dafür. *grml*
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habs mittlerweile rausgefunden:
lim (1+-f(x))^g(x) = e^f(x)*g(x)
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Wo genau ist jetzt nochmal das n oder welche Variable macht hier den Grenzuebergang? Kannst du eine Referenz angeben?
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leider nicht, referenz wäre nur mein matheprofessor. das schrieben wir auf zusammen mit ein paar anderen "wichtige / bekannte grenzwerte", da wir im allgemeinen grenzwertaufgaben auf solche bekannten grenzwerte zurückführen sollten.
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Was man mit Hospital zeigen kann ist, dass (1+a/n)^(b*n) gegen e^(a/b) strebt wenn a und b von n unabhängig sind und n->+inf.
(b*n*ln(1+a/n)) = ln(1+a/n)/(1/(b*n)) -> (1/(1+a/n))*(-a/n2)/(-1/(b*n2)) = a/b * (1/(1+a/n)) -> a/b
also
(1+a/n)^(b*n) = e^(b*n*ln(1+a/n)) -> e^(a/b)
(so fern ich mich nicht verrechnet habe)