Wie beweise ich dass wurzel aus 23 keine rationale Zahl ist??

Das kann man ja mit hilfe von Primfaktorzerlegung & teilerfremdheit machen aber ich verstehe es nicht.

r = sqrt(23)
r^2 = 23

r = p/q
r² = p²/q²

p² = 23 * q²

----------------- soweit verstehe ich es -----------

23 ist ein teiler von p².
Aber wie kann ich von hier an darauf schliessen dass 23 ein teiler von p und von q ist? Ich habe doch nur die Aussage dass 23 teiler von p^2 ist...

knivil

Genauso wie Wurzel 2 keine rationale Zahl ist ...

Aber wie kann ich von hier an darauf schliessen dass 23 ein teiler von p und von q ist?

Ja.
p^2 = 23 * q^2, also links steht eine natuerliche Zahl und rechts. 23 Ist also ein Faktor von p^2, da es sich um eine Quadratzahl handelt, kommen alle Faktoren doppelt vor. Daher teilt 23 auch p. Kuerzt ma nun auf beiden Seiten 23, dann bleibt eine 23 bei p^2 ueber. Nun beginnt das gleiche Spiel fuer q^2. Nun sind also p und q durch 23 teilbar. Das ist der Widerspruch, da wir am Anfang gesagt haben, dass p und q teilerfremd sind.

Primfaktoren braucht man nicht zwingend.

C++ Forumbot

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XFame

knivil schrieb:

23 Ist also ein Faktor von p^2, da es sich um eine Quadratzahl handelt, kommen alle Faktoren doppelt vor. Daher teilt 23 auch p.

Nicht ganz: n=5^2*32, dann ist 5^2 ein Faktor, aber kommt nicht doppelt vor. Es liegt daran, dass 23 eine Primzahl ist und fuer jede Primzahl p gilt:
Teilt p ein Produkt a*b, so teilt p einen der beiden Faktoren a oder b.

Ben04

Noch ein etwas anderes Argument: Angenommen es gibt a₀ und a₁ natürlich mit a₀² = 23 * a₁². Es ist klar, dass a₁ < a₀. Da 23 die rechte Seite teilt, muss es auch die Linke teilen. Da 23 prim ist muss es bereits a₀ teilen. Es gibt also ein a₂ mit 23a₂ = a₀. Es gilt also (23a₂)² = a₀² = 23 * a₁² <=> a₁² = 23*a₂². Wieder ist klar, dass a₂ < a₁. Auf diese Weise lässt sich eine strikt fallende Folge a_n von natürlichen Zahlen definieren. Diese kann es aber nicht geben, da die Menge der {a_n} eine Teilmenge von N wäre aber kein Minimum hätte. Widerspruch.

man kann oBdA annehmen, daß p/q vollständig gekürzt ist. Sonst teilt man p und q jeweils durch ggt(p,q).

Annahme: Wäre dann p^2 = 23 * q^2, ...

... so müßte 23 * 23 in p^2, also auch in q^2, vorkommen.

Dann wäre aber p/q nicht vollständig gekürzt, nicht gut. Also Annahme falsch.