Diskrete Mathematik - Induktion

Die Vertauschung von i und n ist doof Muss ich abändern. Bei der Verankerung mit n=4 habe ich einfach eine Pseudo-Zufallszahl genommen. Ich versuch das nochmals zu umschreiben, dann editier ich es in den nächsten Minuten hier rein.

\[\frac{n(n+1)}{2}+1\]

Verankerung: Für n=0 ist die obige Gleichung korrekt.

n \to n+1:$\\[\underbrace{\left(\frac{n(n+1)}{2}+1\right)}_{"Basis"}+(n+1)=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}+1=\frac{(n+1)(n+2)}{2}+1\]\newline$\square

Ist dies nun besser?

Du sollst doch nicht den kleinen Gauß beweisen, sondern dass sich der auf dein geometrisches Problem übertragen lässt?

Ich dachte, dass mit dem Beweis vom kleinen Gauß die Aufgabe gelöst wäre.

knivil

So wie angegeben haette ich es auch gemacht. K.A. warum alle von dem kleinen Gauss reden ... Ich wuerde aber och begruenden, warum beim Uebergang von n -> n+1 genau (n+1) Unterteilungen der Ebene hinzukommen.

icarus2

Hier findest du bei Aufgabe 2.1 eine korrekte Lösung

Musste ich vor par Wochen beweisen. Die Lösung stammt allerdings nicht von mir

Aber im Allgemeinen wäre das ja akzeptabel was ich habe, wobei jedoch nicht die komplette Form eingehalten wurde, bezogen auf die Bennenung von Induktionsvorraussetzung, -schritt, ...

Diese Aufgabe habe ich aus dem Buch Diskrete Mathematik - Eine Entdeckungsreise von Matousek und Nesetril. Leider gibt es keine Lösung der Aufgabe, sondern nur den Hinweis:

Diskrete Mathematik schrieb:

Fügt man zu n schon gezeichneten eine weitere hinzu, so zerteilt diese genau n + 1 der schon vorhandenen Regionen.

Wo wir gerade dabei sind: Was sind eigentlich so Buchempfehlungen eurerseits? Zwar habe ich voll Zugriff auf Springerlink und die anderen eBooks via eAccess bei uns an der Uni, aber bei der Menge blickt man nicht mehr durch und man weiß nicht, was gut ist!

icarus2

Kommt drauf an... zu welchem Thema genau möchtest du denn einen Buchtipp?

Diskrete Mathematik? Ist ein ziemlich breites Teilgebiet. Müsstest etwas klarer sagen wonach du überhaupt suchst.

Mein Problem ist, dass ich immer noch nicht genau weiß, was Diskrete Mathematik (ich kenne es eigentlich als Diskrete Strukturen) im Genauen ist, ebenso wie Lineare Algebra
Aber im Allgemeinen interessieren mich solche Dinge, die kein "normaler" Mensch mag, so auch Beweise zu irgendwelchen sinnfreien Problemstellungen

icarus2

Also Diskrete Mathematik beschäftigt sich micht endlichen oder endlich abzählbaren Strukturen (also keine reellen Zahlen). Wird halt in der Informatik meistens gebraucht, da ein Rechner nur diskrete (endliche) Zustände haben kann.

Was gehört zur diskreten Mathematik:
- Mengen, Relationen, Funktionen
- Kombinatorik
- Graphentheorie
- Zahlentheorie
- Algebra (über endlichen Strukturen)
- Codierungstheorie
- Kryptografie

(Vielleicht noch ein par mehr, die ich noch nicht hatte. Kannst ja mal auf Wiki schauen oder so was da noch so steht).

Also wenn dir Beweise sehr gut gefallen, dann wäre Proofs from the book vielleicht etwas. Mein Prof hatte das einmal in einer Vorlesung empfohlen. Es enthält zu vielen Bereichen in der Mathematik die einfachsten Beweise (es gibt ja für viele Probleme mehrere Beweise und in diesem Buch sind dann immer die einfachsten drin). Kannst dir ja mal den Inhalt des Buches anschauen. Es behandelt allerdings soweit ich weiss nicht nur diskrete Strukturen. Ich müsste sonst selber mal nachschauen. Und es sind halt wirklich fast nur Beweise drin

wx++

Famer schrieb:

Du sollst doch nicht den kleinen Gauß beweisen, sondern dass sich der auf dein geometrisches Problem übertragen lässt?

Würde ich auch sagen.
Meine Lösung wäre:
Für 0 Geraden ist es 1 Teil, nämlich die ganze Ebene.
Wenn du jetzt n Geraden hast und 1 (die n+1.) dazulegst, schneidet sie jede der vorhandenen n Geraden in jeweils 1 Punkt, also insgesamt genau n Schnittpunkte (da es keine 3er-Schnittpunkte gibt und keine Geraden parallel sind).
Zwischen je zwei Schnittpunkten, sowie "vor" dem 1. und "nach" dem letzten verläuft die neue Gerade jeweils durch ein Teilstück der Ebene und teilt es dadurch in zwei. Dadurch entstehen (n+1) neue Teile.
Macht also für n Geraden gleich 1 + (1 + 2 + ... + n) = 1 + n(n+1)/2 Teile.