4. Konstanten dürfen nicht selbes Objekt referenzieren als 1stOL darstellen

Konstanten dürfen nicht selbes Objekt referenzieren als 1stOL darstellen

  • C
    Mod

    zeusosc schrieb:

    Für mich mal interesse halber:

    Φ:={c_1,c_2∈C∣c_1≠c_2∀i,j∈N:i≤j}⇒Φ⊂C\Phi :=\{c\_1,c\_2\in \mathbb{C}| c\_1\neq c\_2 \forall i,j\in\mathbb{N}: i\leq j\} \Rightarrow \Phi\subset \mathbb{C}

    Ist die folgerung, respektive formulierung, falsch?

    Die Formulierung ergibt in der Form keinen Sinn.

    \Phi :=\{c\_1,c\_2\in \mathbb{C}| c\_1\neq c\_2 \forall i,j\in\mathbb{N}: i\leq j\}$$ heißt "Phi ist definiert als die Menge aller c\_1, c\_2 aus C, die die folgenden beiden Bedingungen erfüllen: 1\. Es gilt c\_1 != c\_2 2\. Für alle i, j \\in N gilt i <= j. Bedingung 2 ist niemals erfüllt, denn es gibt $$i,j \in \mathbb{N}$$, die nicht i <= j erfüllen.
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  • B

    Christoph schrieb:

    Du kannst nicht über die Menge der Konstanten quantifizieren.

    Was wiederum daran liegt, dass Konstanten ja lediglich Konstantensymbole (bzw. nulläre Funktionssymbole) und damit syntaktische Elemente der Sprache sind, während Quantoren über die Individuen, welche semantische Elemente sind, laufen. In einer Theorie der natürlichen Zahlen hätte man beispielsweise nur ein Konstantensymbol, nämlich 0, aber unendlich viele Individuen {0,1,2,...} (die man durch Terme wie 0, S0, SS0 ... darstellen kann).

    Jetzt mal von der Theorie weg: Bei einem wissensbasierten System, ist das praktikabel, es mit Axiomen der Form c_i != c_j vollzustopfen? Ich würde eine Konfigurationseinstellung erwarten.

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  • B

    In was für einer Logik bewegen wir uns nun? Eine standard FOL kennt neben dem Universum keine Mengen. Wenn du die Mengentheorie-Logik zulässt dann hast du etwas mächtigeres, da du die natürlichen Zahlen ausdrücken kannst.

    SideWinder schrieb:

    Meine Frage steht im Threadtitel. Wie kann ich in FOL verhindern, dass Konstanten aus der Menge C der Konstanten die gleichen Objekte referenzieren.

    In FOL ist die Menge der Funktionen endlich (also auch der 0-stelligen Funktionen aka Konstanten). Das heißt, dass not((c1=c2)ν(c1=c2)ν..(c1=cn)ν...(cn=cn)) eine gültige endliche Formel ist die genau das fordert was du haben willst.

    Werden Konstanten sofort aufgelöst zu den Objekten?

    Das kommt auf die Fragestellung an. Du kannst zeigen, dass eine Formel in jeder Interpretation gilt oder du betrachtest nur die Interpretationen welche die Formel erfüllen oder die fragst ob es überhaupt solch eine gibt oder ... Ohne Interpretation ist eine Formel nicht viel mehr als eine syntaktisch korrekte Suppe von Zeichen.

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  • C
    Mod

    Ben04 schrieb:

    In FOL ist die Menge der Funktionen endlich (also auch der 0-stelligen Funktionen aka Konstanten). Das heißt, dass not((c1=c2)ν(c1=c2)ν..(c1=cn)ν...(cn=cn)) eine gültige endliche Formel ist die genau das fordert was du haben willst.

    Nein, das ist nicht der Fall. FO wäre an einigen Stellen ziemlich langweilig, wenn man nur endliche Signaturen erlauben würde.

    edit: Ein konkretes Beispiel, bei dem man unendlich viele (sogar überabzählbar viele) Konstanten-Symbole benötigt, ist das upward Löwenheim-Skolem theorem.

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  • B

    Christoph schrieb:

    Nein, das ist nicht der Fall. FO wäre an einigen Stellen ziemlich langweilig, wenn man nur endliche Signaturen erlauben würde.

    Stimmt! In den meisten Anwendungen dürften davon aber nur endlich viele verwendet werden und dann reicht auch diese endliche Teilmenge. Was nicht benutzte Konstanten machen dürfte meistens egal sein.

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