Basis eines Vektorraums finden

Julian__

schoenen guten samstag morgen!

ich sitze gerade an einer matheaufgabe und komme nicht richtig weiter.
gegeben ist der vektorraum U als untervektorraum vom R^5:
\begin{math}U = \{\alpha \in \mathbb{R}^5 | \alpha\_1 - 4\alpha\_3 = \alpha\_4 \wedge \alpha\_2 - \alpha\_3 + \alpha\_5 = 0\}\end{math}
bewiesen, dass U ein vektorraum ist, habe ich.

mein problem ist nun, eine basis von U zu finden und damit die dimensionen.
ich kann mir jetzt 5 entspr. vektoren ausdenken und dann mit 5 gleichungen rumrechnen, um zu sehen, ob sie linear unabhaengig sind.
nur wenn dabei rauskommt, dass irgendeiner meiner ausgedachten vektoren nicht linear unabhaengig ist (bzw. min. 2 stueck natuerlich), woher weiss ich, ob der untervektorraum vllt. gar nicht 5, sondern evtl. weniger dimensionen hat, oder ich einfach einen anderen fuenften vektor brauche?
ich bin mir sicher, dass das ganze auch ohne einen raten-rechnen-loop funktioniert, aber habe gerade irgendwie ein brett vorm kopf.

ich hoffe, das problem ist verstaendlich.

vielen dank schonmal im voraus!

schoene gruesse
julian

Bashar

Julian__ schrieb:

\begin{math}U = \{\alpha \in \mathbb{R}^5 | \alpha\_1 - 4\alpha\_3 = \alpha\_4 \wedge \alpha\_2 - \alpha\_3 + \alpha\_5 = 0\}\end{math}
bewiesen, dass U ein vektorraum ist, habe ich.

mein problem ist nun, eine basis von U zu finden und damit die dimensionen.

Dein U ist als Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems in der Mengenklammer,

\begin{align*} \alpha\_1 - 4\alpha\_3 -\alpha_4 &= 0\\ \alpha\_2 - \alpha\_3 +\alpha_5 &= 0 \end{align*}

gegeben. Das musst du einfach lösen, dann hast du eine Basis. Die Dimension kriegst du aber auch ohne explizite Berechnung der Lösung heraus, indem du den Rang der Koeffizientenmatrix bestimmst.

Julian__

Bashar schrieb:

Dein U ist als Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems in der Mengenklammer,
\begin{align*} \alpha\_1 - 4\alpha\_3 -\alpha_4 &= 0\\ \alpha\_2 - \alpha\_3 +\alpha_5 &= 0 \end{align*}
gegeben. Das musst du einfach lösen, dann hast du eine Basis. Die Dimension kriegst du aber auch ohne explizite Berechnung der Lösung heraus, indem du den Rang der Koeffizientenmatrix bestimmst.

dass ich das gleichungssystem loesen muss ist klar, aber da kriege ich ja beliebig viele vektoren raus, die der bedingung entsprechen (?).
aber fuer eine basis brauche ich doch X linear unabhaengige vektoren, wobei X die zahl der dimensionen von U ist.
wenn ich nun Y vektoren habe und keinen (Y+1)-ten mehr finde (der den bedingungen genuegt und und in die reihe der Y paarweise linear unabhaengigen passt) , weiss ich aber nicht, ob es keinen mehr gibt (Y=X), oder ich zu bloed bin, noch einen zu finden.

mit matrizen kann ich leider nicht viel anfangen, die stehen in der vorlesung als naechstes an.

ich fuehle mich daemlich, weil ich glaube dass ich irgendetwas ganz einfaches gerade absolut nicht sehe.

danke aber fuer die antwort!

gruesse
julian

Bashar

Julian__ schrieb:

dass ich das gleichungssystem loesen muss ist klar, aber da kriege ich ja beliebig viele vektoren raus, die der bedingung entsprechen (?).

Das hängt vom Verfahren ab, mit dem du das Gleichungssystem löst. Beim Gauss-Jordan-Verfahren (das mit der Treppennormalform) kannst du die Basis direkt ablesen. Wenn du das Gauss-Verfahren (mit Rückwärtseinsetzen) benutzt, was ich für wahrscheinlicher halte, wenn du noch nichts von Matrizen gehört hast, dann wirst du beim Lösen immer wieder feststellen, dass es Variablen gibt, die du beliebig festlegen kannst. Wenn z.B. die letzte Gleichung der Treppenform x=1 lautet, dann ist klar dass x=1 sein muss. Steht da aber x-y=1, dann ist (frei wählbar) x oder y beliebig und die andere Variable davon abhängig. Jede Variable, die beliebig ist, entspricht einer Dimension des Lösungsraumes.
Das ist leider etwas unhandlich zu erklären, wenn man nicht weiß, was man voraussetzen darf, und auch keine Lust hat, die Aufgabe vorzurechne, Ich hoffe, dass es trotzdem irgendwie klar wird, was ich meine.

LADS I, Uni Lübeck?

Julian__

ok, danke Bashar! und ich bedanke mich vielmals, dass du die aufgabe nicht vorrechnest das widerspraeche irgendwie dem sinn der ganzen angelegenheit, wenn ich schon den samstag opfere.

d.h. ich stelle mir ein grosses gleichungssystem auf
f1*a + f2*b + f3*c + f4*d + f5*e = 0
wobei f1-f5 bel. faktoren und a-e vektoren aus U sind.
dann habe ich fuer jede der 5 komponenten eine gleichung und fuer jede variable, die am ende von einer anderen abhaengt, faellt eine dimension weg (von den 5 urspruenglichen des R⁵).

wenn dem so ist, habe ich es einigermassen verstanden, glaube ich. auch wenn das viel zu rechnen wird. dann mache ich mich mal an die arbeit.

nochmal danke.

gruesse
julian

Julian__

kernkern schrieb:

LADS I, Uni Lübeck?

ja

Bashar

Julian__ schrieb:

d.h. ich stelle mir ein grosses gleichungssystem auf
f1*a + f2*b + f3*c + f4*d + f5*e = 0
wobei f1-f5 bel. faktoren und a-e vektoren aus U sind.

Nein, das Gleichungssystem ist das von oben (entschuldige, wenn ich lieber x als \alpha tippe):

x1 - 4x3 - x4 = 0
x2 - x3 + x5 = 0

Und es läuft jetzt etwas aus dem Ruder, also rechne ich doch vor Das GLS ist schon in Treppenform, also braucht man den Gauss-Algorithmus überhaupt nicht, wir können direkt mit dem Rückwärtseinsetzen anfangen.

Zweite Gleichung umstellen: Wähle x3, x5 beliebig: x2 = x3 - x5
Erste Gleichung umstellen: Wähle zusätzlich noch x4 beliebig: x1 = x4 + 4x3

Das wars schon. Die Lösungsmenge ist damit \[ U = \left \{ \begin{pmatrix}x\_4 + 4x\_3\\x\_3 - x\_5\\x\_3\\x\_4\\x\_5\end{pmatrix} \mid x\_3, x\_4, x\_5 \in \mathbb{R} \right \}\], ein offensichtlich dreidimensionaler Vektorraum.

Das System ist sogar in Treppennormalform, deshalb hätte man auch direkt die Basis \[\begin{pmatrix}-4 \\ -1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\0\\0\\-1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\-1\end{pmatrix} \] ablesen können.

Julian__

oh mann ich komm mir noch duemmer vor als vorher.
vielen, vielen dank Bashar!

so in etwa war einer meiner fruehen ansaetze, aber aus irgendeinem grund hab ich mich danach im loesen von vielen gleichungen mit viel zuvielen variablen verrannt.

so ist es jedenfalls logisch, nochmal danke!

schoene gruesse und einen schoenen abend
julian