4. Laplace-Rücktransformation

Laplace-Rücktransformation

  • S

    Hallo,
    ich versuche gerade, die für einen Regelkreis ein Abtastsystem aufzustellen. Es muss dafür die DGL

    x⃗˙(t)=Ax⃗(t)+b⃗u(t)\dot {\vec x}\left( t \right) = A\vec x\left( t \right) + \vec bu\left( t \right)

    mit der Laplace-Transformation transformiert, umgestellt und zurücktransformiert werden. Folgende Schritte verstehe ich:

    $\begin{gathered} s\vec X\left( s \right) - {{\vec x}_0} = A\vec X\left( s \right) + \vec bU\left( s \right) \hfill \\ \quad \Rightarrow \quad \left( {sI - A} \right) \cdot \vec X\left( s \right) = {{\vec x}_0} + \vec bU\left( s \right) \hfill \\ \quad \Rightarrow \quad \vec X\left( s \right) = {\left( {sI - A} \right)^{ - 1}}{{\vec x}_0} + {\left( {sI - A} \right)^{ - 1}}\vec bU\left( s \right) \hfill \\ \end{gathered} $

    Wie macht man nun aber die Rücktransformation? Wenn ich die DGL auf "herkömmliche" Weise löse, kommt ja

    x(t)=eAtx⃗_0+∫_0teA(t−τ)b⃗u(τ)dτx\left( t \right) = {e^{At}}{{\vec x}\_0} + \int\_0^t {{e^{A\left( {t - \tau } \right)}}\vec bu\left( \tau \right)d\tau }

    raus, darauf müsste man also auch bei der Rücktransformation kommen. Der erste Summand ist klar, aber wie kommt man auf das Integral? Ist das so eine Art Kettenregel, weil das s mehrmals vorkommt?

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  • B

    Das sieht mir ganz stark nach einem Faltungsintegral aus. War da nicht mal was, Multiplikation im Bildbereich ist Faltung im Zeitbereich? Alles schon so lange her ... 🙂

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  • S

    Ach ja! Danke 🙂
    Das hätte ich eigentlich auch selber sehen müssen 💡

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